Polytope

est l’ensemble des combinaisons convexes de a et b x = (1 − λ)a + λb, 0 ≤ λ ≤ 1. Exemple. Soient x0 , x1 , x2 , . . . , xm m + 1 points tels que les m vecteurs x1 − x0 , x2 − x0 , . . . , xm − x0 soient lin´airement ind´pendants. Le poly`dre (le polytope) e e e [x0 , x1 , x2 , . . . , xm ] de sommets x0 , x1 , x2 , . . . , xm est l’ensemble des combinaisons convexes de ces points. C’est un ensemble convexe. Lorsque m = 2, on obtient un triangle dont les cˆt´s sont les segments [x0 , x1 ], [x1 , x2

VALENTIN Thèse préparée au sein du laboratoire LMC-IMAG Table des matières Introduction 1 Chapitre I Polytopes et Somme de Minkowski : Rappels 5 1 . Rappels, définitions et notations 1 . 1 Somme de Minkowski 1 . 2 Outils pour la somme de Minkowski de polytopes • Polytopes • Hyperplan d'appui, points d'appui et k-faces d'un polytope • Cône normal et faisceau de normales d'un polytope • Propriétés du faisceau de normales • Rappels sur les arrangements d'hyperplans 6 6 7 7 8 10 11 13 2. Zonotopes

La valeur du critère est alors égale à 2100, Même résultat que la solution graphique (!) ´ Programmation lineaire – p.18/49 Interprétation géométrique La solution optimale (x∗ , x∗ ) ne peut pas être 1 2 strictement à l’intérieur du polytope des contraintes, Au moins une des inégalités est saturée (satisfaite en tant qu’égalité), Sinon, on pourrait ajouter un petit multiple positif de la paire de coefficient définissant le critère (40, 60) à la solution (x∗ , x∗ ), 1 2 Nouvelle

d’exercices Programmation Lin´aire Avanc´e e max fi (x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 2x1 + 2x2 ≥ 3 (1) 2x1 − 2x2 ≤ 3 (2) −x1 + x2 ≤ 2 (3) x1 , x2 ≥ 0 (4), (5) x2 2 (3) 3/2 1 (5) 0 (4) 1 (2) 3/2 2 (1) x1 Figure 1 : polytope des solutions r´alisables e sous forme standard : 2x1 + 2x2 − x3 = 3 2x1 − 2x2 + x4 = 3 1 −x1 + x2 + x5 = 2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 2 2 −1 0 0   0 1 0  a pour rang 3. Les bases sont La matrice A =  2 −2 −1 1 0 0 1 donc de dimension 3 et

est est la solution optimale de (D) on a alors $z^*(x^*)=w^*(y^*)$. \medskip L'algorithme du simplexe permet de résoudre les problèmes de (PL) en construisant tout d'abord une solution réalisable qui est un sommet du polytope puis en se déplaçant selon les arêtes du polytope pour atteindre des sommets dont lesquels la valeur de l'objectif est de plus en plus grande, jusqu'à atteindre l'optimum. \medskip La programmation linéaire est essentiellement appliquée pour résoudre des problèmes

optimale du PLNE. (Mais la solution optimale du PLNE peut être très différente ou même ne pas exister.) Aspects Théoriques * Chercher une solution réalisable du PLNE équivaut à chercher un point dans le polytope de solutions réalisables avec tous ses coordonnés entiers * Si le polytope est long et étroit il n'est pas évident qu'il contient de tels points * Décider si un PLNE possède des solutions réalisables est un exemple d'un problème NP-complet une classe de problèmes pour lesquels

sont peu expressives, ce qui explique la frustration de Suzanne. De plus, son écriture “elliptique”, dénote bien le peu d'intérêt qu’il accorde à sa famille, ne prenant même pas le temps de se confier, de partager avec les siens. Le recours des polytopes "envoyais" est remplacé par "envoies" dans la suite: "Parfois, tu nous envoyais des lettres, / parfois tu nous envoies des lettres". Deux temps sont employés : l'imparfait, utilisé pour décrire des habitudes passées, et le présent, remplaçant l'imparfait

de portables, PC, d’`u le probl`me de PL : o e Max z = 750x1 + 1000x2 x1 + x2 ≤ 10 x1 + 2x2 ≤ 15 4x1 + 3x2 ≤ 25 x1 , x2 ≥ 0 Les contraintes sont d´limit´s par les droites x1 + x2 = 10, x1 + 2x2 = 15, 4x1 + 3x2 = 25, e e xi = 0 et d´finissent un polytope. Le maximum peut se calculer en faisant glisser la droite e d’´quation 0, 75x1 + x2 = K en augmentant la valeur de K (qui correspond au profit e obtenu). On trouve que le maximum est atteint par le sommet P(1,7) qui donne un profit maximum de 7750

équidécomposables, ni même équicomplémentaires. Appendice - Polytopes et polyèdres Un polytope convexe de Rd est l’enveloppe convexe d’un ensemble fini de points S = {s1 , . . . , sn }, c’est-à-dire, l’ensemble : n n P = conv(S) := i=1 λi si : λi ≥ 0, λi = 1 i=1 Les polytopes sont évidemment des objets familiers : les premiers exemples sont les polygones convexes (polytopes convexes de dimension 2) et les polyèdres convexes (polytopes convexes de dimension 3). Il y a plusieurs types de polyèdres

lesquels régnait son père.(...)  » >Rabelais se laisse aller dans ses énumérations sans fin  > cela donne un coté fantaisiste et sans limite de l’enfance. Exemple 1 : Dans le chapitre 27, Rabelais utilise un polytope :  « un vrai moine s'il en fut jamais depuis que le monde moinant moina de moinerie »>Rabelais est assez séduit par la musicalité des mots, cela donne un aspect poétique à l’œuvre> écriture ludique et diversifiée. Exemple 2 :