Primalité dans un anneau

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 4 5 6 2 Construction du GNFS 2.1 Polynˆ omes irr´eductibles et corps de nombres . . . . . . 2.2 Anneau des entiers alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . 2.3 Friabilit´e et base factorielle alg´ebrique . . . . . . . . . 2.3.1 Norme alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Norme d’un id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Id´eaux

Premiers - Définition : Un nombre premier supérieur ou égal à 2 est dit premier s’il n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Dans le cas contraire, cet entier est dit composé. Exemple : 11 est premier, 26 est composé : 13[pic]2. - Critère de primalité : Considérons un entier n, s’il n’admet aucun diviseur premier tel que p²≤n, alors n est lui-même premier. Exemple : Notons n=47, N n’est pas divisible par 2, 3, 5 or 7²=49 et 49>47, Donc 47 est premier. - Il existe une infinité de nombres

VII : Cryptographie Annexe VIII : La recherche des grands nombres premiers, le test de Lucas. Annexe IX : Les nombres parfaits Annexe X : Curiosités étranges 1) Problèmes de la factorisation des entiers 2) Un test probabiliste de primalité 3) Les certificats de primalité 4) Le polynôme de Jones 5) Les fractions de Conway et Guy ¢¢    ¡¡ -1- I : Les entiers 1– Le principe de récurrence Voici un extrait d'un livre paru en 1993 (Le langage CAML, Weis et Leroy – InterEditions) : Le principe

L’indicatrice d’Euler et le th´or`me de Fermat . . . . e e L’exponentiation modulaire et le logarithme discret . . Fonctions ` Sens Unique . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3.4 Construction des corps premiers et corps finis . . . . . Tests de primalit´ et g´n´ration de nombres premiers . e e e Arithm´tique des polynˆmes . . . . . . . . . . . . . . e o L’anneau V [X]/P et les corps finis . . . . . . . . . . . Polynˆmes irr´ductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . o e Constructions des corps finis

dénir l'addition sur G/H ?  Montrer que le groupe quotient Z/2Z ne possède que les deux éléments 0 et 1, dresser sa table d'addition. la somme des classes est la classe de la somme. 14 Arithmétique 0.4 Anneaux et corps Dénition 0.9 Un anneau est la donnée d'un ensemble A muni de deux opérations, une addition et une multiplication, vériant 1. (A, +) est un groupe commutatif, d'élément neutre noté 0. 2. La multiplication est associative et possède un élément neutre noté 1, appelé élément

) le corps des fractions rationelles en à coefficients réels ; Rn [ ] le module10 de dimension n sur R[ ] ; 9 10 Dans (6.11), l’ensemble Jt est de mesure nulle [117], réduit à un nombre fini de points. Equivalent d’un espace vectoriel mais sur un anneau, voir [117]. 241 6. Systèmes à retard λmax (Q) la plus grande valeur propre d’une matrice symétrique Q ∈ Rn×n ; pour toute matrice réelle M (t) = [mij (t)] , on définit |M (t)| = [ |mij (t)| ]   |mij (t)| si i = j, et M + (t) = m+ (t) , m+

min,+). e 40 7.2 7.2.1 Description de la structure d’automate Graphe pond´r´ e e a|α L’´l´ment de base de ces graphes est la flˆche A = q1 → q2 avec qi ∈ Q, a ∈ Σ, α ∈ k o` ee e u Q est un ensemble d’´tats, Σ un alphabet et k, un semi-anneau 5 . Pour un tel objet, on e d´finit, selon les conventions g´n´rales de la th´orie des graphes, e e e e – t(A) := q1 (“tail”: queue, source, origine) – h(A) := q2 (“head” tˆte, but, extr´mit´) e e e – l(A) := a (“label” ´tiquette) e – w(A) := α (“weight”

. . . . . . . . . . 178 . . . . . . . . . . . . . . 178 reconstruction rationnelle179 8 Corps finis et théorie des nombres 8.1 Anneaux et corps finis . . . . . . . . 8.1.1 Anneau des entiers modulo n 8.1.2 Corps finis . . . . . . . . . . 8.1.3 Reconstruction rationnelle . . 8.1.4 Restes chinois . . . . . . . . . 8.2 Primalité . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Factorisation et logarithme discret . 8.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 La constante δ . . . . . . . . 8.4.2 Calcul d’intégrale

[003004] Anneaux Exercice 3005 Anneau de Boole Soit E un ensemble fini et A = P(E). 1. Montrer que (A, ∆, ∩) est un anneau commutatif. Est-il intègre ? 2. Soit I un idéal de A. Montrer que : ∀ X ∈ I, ∀ Y ⊂ X, on a Y ∈ I ∀ X,Y ∈ I, on a X ∪Y ∈ I. 3. En déduire que I = P(E ) avec E ⊂ E. 4. Étudier la réciproque. 5. Si E est infini, montrer que I = {parties finies de E} est un idéal qui n’est pas de la forme P(E ). 23 [003005] Exercice 3006 Idéaux triviaux Soit A un anneau commutatif non nul dont les

Anneaux Exercice 3005 Anneau de Boole Soit E un ensemble fini et A = P(E). 1. Montrer que (A, ∆, ∩) est un anneau commutatif. Est-il intègre ? 2. Soit I un idéal de A. Montrer que : ∀ X ∈ I, ∀ Y ⊂ X, on a Y ∈ I ∀ X,Y ∈ I, on a X ∪Y ∈ I. 3. En déduire que I = P(E ) avec E ⊂ E. 4. Étudier la réciproque. 21 5. Si E est infini, montrer que I = {parties finies de E} est un idéal qui n’est pas de la forme P(E ). [003005] Exercice 3006 Idéaux triviaux Soit A un anneau commutatif non nul dont