Projection orthogonale

d’une application affine . . . . . . . . . . 2.2 Exemples d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Projection affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Symétrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rapport ISI: « dossier de validation des acquis » et « projection orthogonale » On a insérer un format prédéfini puis regardé les différente face d'une pièce et comment faire un projection orthogonale. On a aussi vue les dessin technique (la perspective en vue éclatée, le schéma et projection orthogonale). L'utilité du dessin technique pour le technicien doit pouvoir communiquer et comprendre celle de ses confrères _Activité 1: _Activité 2: « préserver sa santé » aérobie = presque

dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ . 1.b. En d´eduire que E = Im(f ) ⊕ Ker(f ). 1.c. Montrer que Ker(f ) = Ker(f ◦ f ). 2.a. Montrer que < f (x), x >= 0 pour tout x ∈ E. 2.b. En d´eduire que f admet

Produit scalaire 1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel. [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic] Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic]

= (x i1 projection de xi sur C1 ci1 ci1 = ∑ a1 j xij j =1 p les projections ci1 sont les plus dispersées possible. C1 de variance maximale Pour fixer la droite, on impose qu’elle passe par g (centre de gravité) ! (sinon l’ensemble des droites parallèles conviennent) LINF 2275 Stat. explor. multidim. 3 C1 = droite passant par le centre de gravité réalisant le meilleur ajustement possible du nuage c-à-d : qui conserve au mieux la distance entre les points (après projection) => droite

0. u 0 v 0 Si u ≠ 0 et v ≠ 0 , alors les trois points A, B et C sont distincts et définissent un plan et nous donnons quatre définitions du produit scalaire : → → → → → → Définition A1 Projection orthogonale C K Soit K le projeté orthogonal de B sur (AC) H le projeté orthogonal de C sur (AB) → → u . v = AB . AC = AB . AH = AK . AC → → → → → → A H B Définition A2 Normes et cosinus → → C → → → u . v = AB . AC = II AB II

Dénitions Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormale Un système orthonormal est libre(démo) Th de Pythagore 1.4.2 Sous-espaces orthogonaux Dénition : orthogonalité de 2 sev, supplémentaires orthogonaux Si F est un sev de E , l'orthogonal de F est F ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ F (x|y) = 0} ; c'est un sev de E F ∩ F ⊥ = {0}, F ⊂ (F ⊥ )⊥ , {0}⊥ = E , E ⊥ = {0}(démo) Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, G = F ⊥ et F = (F ⊥ )⊥ (démo) Dénition d'un projecteur orthogonal Th (isomorphisme)

Quantitatives IV) Algèbre II Objectif du cours Approfondir les connaissances des étudiants en algèbre linéaire par l’étude quasi-complète d’un système linéaire, notamment résolution au sens des MCO et par l’initiation à l’orthogonalité et à la projection orthogonale, avec une application aux droites et aux plans. Pré-reqcuis recommandé Fonction d’une variable Calcul matriciel Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (26h) Travaux

de P2P1,où: * P1 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X1 P2 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1 est une combinaison linéaire des variables du tableau X1 Z1 2 est une combinaison linéaire des variables du tableau X2 Les valeurs des projecteurs P1 et P2 : Rappel d'algèbre linéaire * Définition : Le projecteur orthogonal sur l'espace E engendré par les colonnes de X est

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées