Propriété de Markov

. . . . . . . . . 3 Un peu de trigonométrie 3.1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Propriétés géométriques de ces fonctions 3.2.3 Propriétés analytiques de ces fonctions . 3.3 Fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’identité (si 1 ≤ k ≤ n), n−1 n k d) = j=k−1 j . k−1 Solution On démontre par récurrence, que, pour n ≥ 1, on a la propriété suivante : n−1 j (Pn ) : pour tout k compris entre 1 et n, on a nk = . k−1 j=k−1 Initialisation : On prend n = 1, alors nécessairement k = 1, et on a 1 1 0 j k−1 = j=0 = 0 0 = 1, et la propriété est vraie au rang 1. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n. Soit alors k tel que 1 ≤ k ≤ n + 1. Il y a trois situations possibles. Si k = n + 1 on a 1= Si 2 ≤ k

Fonctions affines. Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions logarithme népérien et exponentielle de base e. Fonction racine carrée. Fonctions sinus et cosinus. • Représenter une fonction de référence et exploiter cette courbe pour retrouver des propriétés de la fonction. En fonction des besoins, on met l'accent sur les fonctions de référence les plus utiles. En cas de besoin lié à la spécialité, on peut être amené à étudier l’une ou l’autre des fonctions suivantes : – la fonction logarithme décimal

maturité du taux flottant. Par exemple, dans le cas d’un swap contre Pibor 3 mois, les resets ont lieu tous les trois mois. Outre la facilité d’emploi et la compatibilité avec les stratégies d’emprunt à taux variable, cette caractéristique a pour propriété de simplifier les calculs de la valeur actuelle de la branche flottante d’un swap. 6.Le choix d’un jour ouvré si la date de paiement est un jour non ouvré. Certaines dates de paiement tombent lors de jours non ouvrés. Il est donc nécessaire

attribut de toutes les actions humaines faites pour obtenir l'effet désiré. C'est donc le meilleur usage des moyens. Ainsi une solution efficiente est celle qui utilise le moins de moyens, ou tout simplement la moins coûteuse. L'efficience est donc la propriété d'un système d'obtenir des résultats optimaux avec des dépenses ayant un niveau suffisamment petit (réduit). Le concept d'efficience met alors en rapport l'efficacité avec les moyens engagés pour atteindre les résultats. Tenant compte tant des résultats

l’entretien préventif et plus généralement de la résolution de problèmes aléatoires présentant des goulets d’étranglement. L’analyse de processus stochastiques n’est que le prolongement de la théorie des probabilités et l’utilisation des chaînes de Markov est très utile dans tous les problèmes de transition. Le développement relativement récent des applications industrielles de la statistique a familiarisé les ingénieurs avec le calcul des probabilités. Il leur a révélé sa portée, dans l’industrie

|X| ≥ ter } ≤ 1 . tr D´monstration. — En effet, soient t, r > 0. On a e { |X| ≥ t} ⇔ { |X|r ≥ tr }. D’o` u tr I{ |X|≥t } = tr I{ |X|r ≥tr } ≤ |X|r , et le r´sultat en prenant l’esp´rance math´matique. e e e Pour r = 1, 2, on obtient l’in´galit´ de Markov, de Tchebychev (ou e e de Bienaym´ ), respectivement. La version la plus utilis´e de l’in´galit´ de e e e e Tchebychev est celle qui s’applique a la variable al´atoire centr´e (X −E[X]). ` e e Corollaire 8.2. — Si E[X 2 ] < +∞, on a pour tout t >

capacité à déceler les optima globaux, cette méthode (I.NEWTON, 1671 ; J.RAPHSON, 1690), consiste à itérer à partir de l’équation suivante : x(i+1) = x(i) + f (x(i) ).H −1 (x(i) ) x(i+1) = x(i) + t(i) . f (x(i) ).H −1 (x(i) ) selon les propriétés de convergence de l’algorithme, avec H est la matrice hessienne supposée inversible δ2 f (x(i) ) H= δxp δxq avec p ∈ [1, N ] et q ∈ [1, N ]. 52 - A propos des Méthodes du gradient, voir P.LASCAUX et R.THÉODOR (op.cit., tome 2, pp.489-554)

à venir est « virtuellement » présent dans l’amande, même si cela ne signifie pas que cette potentialité se révélera à coup sûr (l’amande peut être mangée par un oiseau). Descartes a ajouté une seconde définition, centrée sur l’optique et les propriétés des miroirs (l’image virtuelle donnée par un miroir). Mais c'est l'approche d'Aristote qui s'est révélée la plus féconde. Gilles Deleuze7 en a relancé l'intérêt en distinguant entre potentiel et virtuel et en établissant quatre catégories : i)

stochastiques, publié dans la même collection. Les méthodes d’estimation et leurs propriétés sont présentées avec une grande rigueur mathématique et statistique, tout en s’efforçant d’expliquer la portée pratique des résultats présentés ; le lecteur doit comprendre sous quelles conditions chaque méthode ou chaque test peut être utilisé à bon escient. Les preuves mathématiques des différents résultats et propriétés ne sont toutefois pas détaillées dans cet ouvrage, le lecteur intéressé étant renvoyé