Propriété de Markov

Probabilités conditionnelles Probabilité de A sachant B. Soient A et B deux événements, l’événement B étant de probabilité non nulle. La probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est notée pB(A) (ou aussi p(A\B)). Elle est donnée par la formule pB(A) = p(A ∩ B) p(B) . On en déduit que p(A ∩ B) = p(B) × pB(A). Evénements indépendants Soient A et B deux événements. A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B). Si de plus p(A) 6= 0, A et B sont indépendants

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) 1. Restitution organisée de connaissances Prérequis : on rappelle que deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité p si, et seulement si, p (A ∩ B) = p(A) × p(B). Soient A et B deux événements associés à une expérience aléatoire. a. Démontrer que p(B) = p(B ∩ A) + p(B ∩ A). b. Démontrer que, si les événements A et B sont indépendants pour la probabilité p, alors les événements A et B le sont également. 2. Application : Chaque matin

Exercice 1 : 1. On a P(D) = 0,03 PD(Ā) = 0,94 et PD̅(A) = 0,92 0,0603 A On pouvait faire l’arbre suivant  0,9703 0,94 0,9203 0,0803 0,0303 A A̅ A̅ D̅ D 2. A. determiner PD(A) = 1-PD(Ā) = 1- 0,94 = 0.06 b. P(AnD) = P(D) X PD(A) = 0,03 X 0,06 = 0,0018 P(AnD̅) = P(D̅) X PD̅(A) = 0,97 X 0,92 = 0,8924 3. On a P(A) = P(AnD) + P(AnD̅) = 0.8942 4. On cherche PA(D) = P(AnD)P(A) = 0,00180,09842 = 0,002 Loi binomiale : 1. On répète 10 fois une expérience

Chaînes de Markov Arthur Charpentier École Nationale de la Statistique et d’Analyse de l’Information - notes de cours à usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 1.1 Quelques motivations La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide

 linéaire  :  modélisa0on  des   problèmes,  de  la  resolu0on  graphique  au   algorithme  du  simplexe.  Problème  de  la  dualité  et   méthode  dual-­‐simplexe.     •  Modèle  de  Markov  :  Simula0on,  illustra0ons  et   applica0ons.   Objec0fs  généraux   •  L’objec0f  premier  de  ce  cours  est  d’acqurir  une   connaissance  approfondie  de  certaines   techniques

(discrète ou continue) pendant un intervalle de temps. Le processus de Markov est un type de processus stochastique qui a une grande importance en finance. Les valeurs futures d’une variable qui suit un processus de Markov : * Dépendent de la valeur prise par la variable à l’instant présent ; * Ne dépendent que de cette valeur et non des valeurs antérieures. Considérant une variable qui suit un processus de Markov et la valeur de cette variable à l’instant présent. La prochaine valeur de

Chaînes de Markov Arthur Charpentier École Nationale de la Statistique et d’Analyse de l’Information - notes de cours à usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 Quelques motivations 1.1 La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser

A1A2∩ . . . ∩ An )p( A2A3∩ . . . ∩ An ) . . . p( An-1An ) p( An ) • Si A , B , C sont de probabilité non nulle, on a : p( A∩BC ) = p( AB∩C ) p( BC ) 1.1.4. Quelques propriétés de la loi exponentielle La loi exponentielle joue un rôle fondamental dans les processus stochastiques à temps continu. Nous allons en exposer les propriétés les plus importantes. Soit un dispositif technique , dont la durée T de bon fonctionnement suit une loi exponentielle de densité f ( t ) = λe-λt pour t ≥ 0 , où λ est

variables aléatoires réelles X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout intervalle A et B de IR : P (X ∈ A et Y ∈ B) = P (X ∈ A)P (Y ∈ B). La dépendance de deux variables se mesure par la covariance: cov(X, Y ) = IE(XY ) − IE(X)IE(Y ). 2 Propriétés: • Pour des variables d'espérance nulle, la covariance est un produit scalaire. Deux variables seront dites orthogonales si leur covariance est nulle. • Deux variables indépendantes sont orthogonales. • Deux variables orthogonales ne sont

Ecole Polytechnique, Promotion X 97 Rapport de Stage d’Option scientifique Vincent ARSIGNY Modélisation par champ de Markov du signal de parole et application à la reconnaissance vocale. Option Image et Signal Département de Mathématiques appliquées Directeurs de l’Option : MM Stéphane MALLAT et Emmanuel BACRY Stage effectué à l’Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Paris, sous la direction de MM Marc SIGELLE et Guillaume GRAVIER, du 1er avril 2000 au 7 juillet 2000