Propriété de Markov

processus séquentiels Structures séquentielles complexes décomposées en segments élémentaires stationnaires Chaque segment : fonction déterministe ou stochastique Permet de décrire des modèles de langues, de lexiques, de phonèmes… Exemple : Modèles de Markov Cachés (HMMs) – 2 processus stochastiques : • • • Séquence d’états du HMM (structure séquentielle des données) Probabilité d’émission de l’état (caractéristiques locales des données) Exemple : modèle HMM gauche-droit de phonème avec distributions

être acceptables. Ainsi, une méthode en RO sera jugée sur ces critères de temps et de place. Plus une méthode sera rapide et peu gourmande, plus elle sera considérée bonne. Les ordinateurs sont une structure particulière, qui fait que toutes les propriétés des mathématiques traditionnelles ne sont pas toujours respectées. Ainsi, une démarche qui fonctionne admirablement en théorie peut s'avérer complètement inexploitable en pratique. Notamment, les nombres réels dans un ordinateur ne peuvent pas être

récurrence sur n ∈  que M n = P D n P −1 . • initialisation : M1 = M = P D P −1 = P D1 P −1 et la propriété est vraie pour n = 1. • hérédité : supposons que, pour n arbitrairement fixé, M n = P D n P −1 ; alors M n +1 = M n × M = ( P D n P −1 ) × ( P D P −1 ) = P Dn × ( P −1P ) × D P −1 = P Dn × I × D P −1 = P Dn × D P −1 = P (Dn × D) P −1 = P Dn +1 P −1 cqfd. g) M est d’évidence une matrice de Markov ; par ailleurs, pour n ≥ 2 : 1n 0 1 1 . M n = P Dn ( P) = P Dn P , avec -récurrence immédiate-

notamment utilisés pour modéliser les temps inter-pannes et les durées de réparation, les taux de rebut, etc. La génération de ces nombres se fait par un algorithme ou une série mathématique qui produit une séquence de nombres présentant certaines propriétés du hasard. Il s’agit donc de nombres pseudo-aléatoires Avantage : l’aléatoire est reproductible ; les résultats de deux simulations sont comparables même si le modèle est stochastique Inconvénient : il faut respecter un certain nombre de règles

existent. Cependant, il est intéressant de synthétiser la littérature et les méthodes testant le rôle de l’espace dans la croissance des villes. Des modèles gravitaires plutôt anciens aux travaux plus récents sur la modélisation par les chaînes de Markov (2002; 2004) et de Rey (2001) en passant par l’économétrie, les outils sont nombreux à être utilisés par les chercheurs. Diffusion spatiale et modèle gravitaire d’interactions spatiales La distance entre les unités géographiques joue un rôle majeur

loi du Chi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.8 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.9 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.10 Processus de Wiener (ou mouvement brownien) . . . . . . . . . . 133 3.11 Problèmes et exercices pour l’Ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . 136 ii TABLE DES MATIÈRES 4 EDO non-linéaire

52 23 3. Chaine de Markov 52 23 3. 96. Chaine de Markov, N. Calédonie 2009 52 24 3. 97. Tirages successifs, Asie 2008 53 24 3. 98. Hérédité, Polynésie sept 2007 53 25 3. 99. Chaîne de Markov, Liban 2007 54 25 3. 100. Chaîne de Markov, Asie 2006 55 25 3. 101. Markov, binomiale, N. Calédonie 2003 55 26 3. 102. Ramassage (Markov), C. étrangers 2004 56 26 3. 103. Génétique (Markov) 56 26 3. 104. Urnes et jetons (Markov) 57 27 3. 105. Feux rouges (Markov), Asie 2002 58 3

autour des trois points forts suivants : — En algèbre linéaire, la résolution des systèmes d'équations linéaires, le calcul matriciel et la structure vectorielle, ce qui permet l'étude des phénomènes itératifs à plusieurs dimensions ( chaînes de Markov) ; — En analyse, les phénomènes discrets, décrits par des suites, et les phénomènes continus, décrits par des fonctions, l'emploi de représentations graphiques pour l’étude qualitative et quantitative de ces phénomènes, la maîtrise des fonctions

dimension (n, p + 1) a est de dimension (p+1, 1) ε est de dimension (n, 1) la première colonne sert à indiquer que nous procédons à une régression avec constante. Hypothèses Comme en régression simple, les hypothèses permettent de déterminer : les propriétés des estimateurs (biais, convergence) ; et leurs lois de distributions (pour les estimations par intervalle et les tests d'hypothèses). Il existe principalement deux catégories d'hypothèses : Hypothèses stochastiques • • • • • • , et gaussien). Hypothèses

Processus aléatoires 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 Définitions Processus équivalents Moments Continuités Processus stationnaires Exemples de processus aléatoires Martingale Mouvement brownien Marche au hasard Processus et chaînes de Markov Processus ponctuels Application aux phénomènes d’attente 146 147 148 149 149 150 153 154 156 157 158 166 170 c Dunod – La photocopie non autorisée est un délit C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon. Application