Pythagore

2. Le triangle AJC est rectangle en J , on a AC=4 et 4 CJ= =2 , donc d'après le théorème de Pythagore, on a 2 AC 2=AJ 2+JC2 Donc AJ 2=AC 2−JC 2=42−22=16−4=12 , donc AJ= √ 12=2 √ 3 3. La nature du triangle AJB est isocèle en J , car on montrerai, comme à la question précédente que BJ=2 √ 3 . 4. Donc Le triangle AIJ est rectangle en I (car IJ est une hauteur du triangle ABJ ). D'après le théorème de Pythagore, on a AJ 2=AI 2+ IJ 2 . 2 5. Donc IJ 2=AJ2−AI 2=( 2 √3 ) −22 =12−4=8 , donc IJ =√ 8=2 √ 2

en B. AB = 9 cm ; AI = IJ = JB ; et  A, I, J et B sont alignés dans cette ordre. Donc : AI + IJ + JB = AB donc 3 JB = AB donc  JB = AB/3 = 3 cm   On a également BK = JB = 3 cm.   Dans le triangle JBK rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore : JK2 = JB2 + KB2 JK2 = 9 + 9 JK2 = 18 donc JK = √18 = √(2 X 9) = 3√2 cm  soit 4,24 cm environ   b. Un octogone régulier est un octogone qui a des tous ses côtés de même longueur. Or : IJ = 3 cm et  JK = 3√2 cm Donc l’octogone IJKLMNOP

note M le point tel que OM = u . Les coordonnées de OM sont ( a ; b ; c ) et || u || ²= OM Puisque le repère est orthonormal, le triangle OM’M est rectangle en M’ . Donc OM’² = a ² + b ² et M’M ² = OM’’ ² = c ² On en déduit, d’après le théorème de Pythagore que : || u || ²= OM ² = OM’² + OM’’ ² = a ² + b ² + c ² AB = || AB || … ( xB xA )² ( yB yA ) ² ( zB zA ) ² M’’ c M k j i b a O M’ B ) CONDITION ANALYTIQUE D’ORTHOGONALITE Dans une base orthonormale : Dire que

Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) = Alors: Alors: On retiendra: Pour tous vecteurs: u et v de E , u  v  u . v = 0 5) Théorèmes de Pythagore: 2 2 a) Théorème de Pythagore: Démontrer que: u  v  u  v puis interpréter graphiquement 2  uv b) Théorème de Pythagore généralisé: A ; B et C sont trois points de E , on pose: BC = a ; CA = b et AB = c 2   i) Ecrire sous deux formes différentes: BA AC (on utilisera les lettres: a

Si ABC est rectangle en A alors BC²=AB²+AC² (Théorème de Pythagore) 4 T2 Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté. Si ABC est un triangle tel que BC²=AB²+AC² alors ABC est rectangle en A. (Réciproque du théorème de Pythagore) 4 T3 Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle

5,11 dm mOE 4,62 + (mOD)2 2,23 dm Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. Relation de Pythagore : 5,112 mOD 4,6 mOE 4,14 4,6 Intersection CST Guide A CHAPITRE 2 35 La cathète d’un triangle rectangle est moyenne proportionnelle de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière. Relation de Pythagore : 4,6 = (mGE) + 2 2 mGE 4,14 dm 2 O 2 dm D À partir de l’information fournie dans la figure, aide le mécanicien

cône de génératrice AB ou AC de longueur 10,4 cm, de hauteur AO, de rayon OB, (AO) et (BC) sont perpendiculaires en O. 1. Calcul de AO : On sait que AOB est un triangle rectangle en O, OB = 4 cm et AB =10,4 cm. Donc, d'après la propriété de Pythagore, AB² = AO²+OB². Soit 10,4² = AO² +4². Donc AO² = 108,16 -16. AO² = 92,16. Comme AO > 0, alors AO = 92,16 AO = 9,6 cm. a 2. Calcul de la mesure de l’angle BAO arrondie au degré près puis de a BAC. On sait que le triangle AOB est rectangle

perpendiculaire à un côté, en utilisant la 3ième médiatrice ou hauteur PROPRIETES PARTICULIERES DU TRIANGLE RECTANGLE : a. Théorème de Pythagore et réciproque Théorème : Si un triangle ABC est rectangle en A, Alors AB² + AC² = BC². Exemple : ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3cm et AC = 4cm.  Puisque ABC est rectangle en A, alors d’après le théorème de Pythagore on a : BC² = AB² + AC² BC² = 3² + 4² BC² = 9 + 16 BC² = 25 BC = 25 BC = 5 C B A Classe 2nde - Chapitre : Géométrie 1

pointillés, ce qui donne le dessin exact ci-dessous. D 4π cm A 6 cm F E C I B Remarque : on peut aussi corriger le dessin ainsi (il y a alors 5 erreurs). 2 cm D A F E a) 2π × 3 cm = 6 πcm. b) D’après le théorème de Pythagore : SM2 = 42 + 32 = 25 donc SM = 5 cm. c) D’après le tableau de proportionnalité ci-dessous : B A 2π × 5 cm x a) B C 3 cm 360° 6π × 360° x= = 216°. 10π C I 6π cm E D 4 cm d) b) C F B

50π x^2= 50 x = 50 ou x = -50 par contre, x est positif alors la seule solution est x = 50 = 52 4) a) La diagonale du carré est égale au diamètre du cercle de rayon 10. Soit c le côté du carré. On obtient en utilisant le théorème de Pythagore dans RSU : 2c^2 = 400 = c^2 = 200, donc le côté du carré mesure 200= 102 b. Pour que le deuxième cercle ne coupe pas le carré, il suffit que son rayon soit inférieur à (102)/2 = 52 ≈ 7,07 La plus grande valeur entière de x est donc 7.