Pythagore

est alors égale (en cm2) à : 60 π + 2 × (π × 32) = 78 π soit environ 245 cm2. V = 1 × (π × 42) × 20 = 320 π 3 3 soit environ 335 cm3. 9 10 Soit A un point du cercle « de coupe ». Le triangle OAO’ est rectangle en O’. Appliquons le théorème de Pythagore : OA2 = OO’2 + O’A2 soit 62 = OO’2 + 42 et OO’2 = 20. Il en résulte que OO’ = 215 cm soit environ 4,47 cm. 11 (MN) et (PM) sont deux droites (sécantes) du plan (MNP). Elles sont respectivement parallèles à deux droites 4 4 du théorème de Thalès

les carrés des longueurs des trois cotés et on trouve que MN 2  26 , NP2  40 et MP2  74. Et comme MP2  NP2  MN 2 , alors la contraposée du théorème de Pythagore permet de dire que le triangle MNP n’est pas rectangle contrairement à ce que la figure pouvait laisser suggérer. Exercice n° 8 a) D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en B. b) K   2;0  . c) D   3; 3 d) Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu K. on

perpendiculaires à la droite (AB). Le quadrilatère AMO’B ayant ainsi trois angles droit est un rectangle. Par suite : OM = R1 - R2 De plus OO’ = R1 + R2 et MO’ = AB Dans le triangle OMO’ rectangle en M, nous avons , d’après le théorème de Pythagore : OO’² = OM² + MO’² Soit ( R1 + R2 )² = (R1 - R2 )²+ AB² En développant, nous avons : R1²+ 2 R1 R2 + R2² = R1²- 2 R1 R2 + R2² + AB² R1²+ 2 R1 R2 + R2² - R1²+ 2 R1 R2 - R2² = AB² 4 R1 R2 = AB² AB² = 4 R1 R2 soit AB = 4 R1 R2 =

aigu, on a :    Preuve :   [pic]   2) On note :  CA le côté adjacent à l’angle x ; CO le côté opposé à l’angle x ; H l’hypoténuse du triangle rectangle ;   On a : [pic]   Or : dans un triangle rectangle, d’après la propriété de Pythagore, CA² + CO² = H².   Donc : cos² x + sin² x = 1

leur intersection F est le centre de gravité de ADE. 7. AD² = (- 4 + 3)² + (- 6 +1)² AE² = (4 + 3)² + (- 8 + 1)² DE² = (4 + 4)² + (- 8 + 6)² AD² = 26 AE² = 98 DE² = 68 AD² + DE² = 94 donc AD² + DE² ≠ AE² donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore le triangle ADE n'est pas rectangle. Exercice 4 : 1. Cet algorithme détermine le nombre d'années pour que la population de coccinelles double (ou dépasse 6000) . 2. N 0 1 2 3 4 S 3000 3090 3183 3278 3377 3. La valeur de N affichée est 24 Il faut

vérité scientifique est une vérité démontrée (pour les mathématiques).En effet, il existe des connaissances scientifiques, comme la géométrie, science de l’espace, qui sont objectives et demandent d’être démontrées. Par exemple, le théorème de Pythagore (dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal a la somme des carres des longueurs des deux autres cotés). Il y a bien de la vérité dans les autres sciences mais elle n’est ni évidente, ni démontrée, ni par conséquent

AOB=45° 2  • CAB est un angle inscrit dans le cercle C,  est l'angle au centre COB  1 COB=60 °  associé à CAB . D'où CAB=  2    • CBA=180­CAB­ ACB=75 ° associé à  . D'où ACB 2. a) Dans le triangle BAO rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore: 2 2 2 2 2 BA =OB OA =1 1 =2 d'où BA=  2  2   31 2 Exercice 4 : AOB est un triangle rectangle isocèle en O, C1 est le demi-cercle de diamètre [AB] contenant O, C est le cercle de centre O passant par A et B ; M est un point de C distinct

(c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet KB’ = KU’ = [pic] d’après la propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = [pic] - [pic]=[pic] et OI = [pic]. L’angle ([pic],[pic]) a un cosinus égal à [pic], c’est bien un angle de [pic]. La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est

points A et B se calcule en utilisant la formule : Attention : aucune simplification n‘est possible dans cette formule entre la racine et les carrés . Preuve : Considérons le triangle ABC de la figure rectangle en C, d‘après le théorème de Pythagore (étudié en quatrième) AB²=AC²+BC² Exemple : Dans un repère du plan , Reprenons l‘exemple précédent avec A(1 ; 2) et B(3 ; 4) : conclusion : La distance AB vaut .  IV. Développement et factorisation 1) Identités remarquables                 

donc la masse d’une botte sera de 0, 14175×90 = 12, 7575 kg. 40 Enfin le prix d’une botte sera 12, 7575 × 0, 51 euros. 1000 2 a) Combien de bottes faut-il commander ? Dans le triangle rectangle JIF rectangle en I on a d’après le théorème de Pythagore : JF 2 = IJ 2 + IF 2 C’est-à-dire JF 2 = 2, 72 + 3, 62 = 20, 25 donc JF = √ 20, 25 = 4, 5 m La surface de la toiture est donc 4, 5 × 15, 3 = 68, 85 m2 De plus la surface de la base sur laquelle est posée la botte de paille vaut 0, 9 ×