Racine carrée

Avec une calculette La fonction racine carrée des calculettes les plus simples permet de calculer que la racine carrée de 9 est égale à 3 (vous pouvez faire l'essai). Prenons une calculette scientifique. Même bon marché, elle comporte une touche marquée "log". C'est la bonne. Pour calculer le logarithme du nombre N, il suffit d'appuyer sur la touche log, puis de taper N et enfin d'afficher le résultat en appuyant sur la touche "=". Essayons avec N=100 : logarithme(100)=2. Exercices Ces petits

MA12 Séquence 1 1ère partie : Deux nouvelles fonctions 2e partie : Géométrie plane 3e partie : Un peu de logique Séquence 1 – MA12 7 ère 1 partie Deux nouvelles fonctions Sommaire 1. Pré-requis p.9 2. La fonction racine carrée p.16 3. La fonction valeur absolue p.21 4. Synthèse de la partie 1 de la séquence p.28 5. Exercices d’approfondissement p.30 8 Séquence 1 – MA12 1 Pré-requis A Ordre dans ‫ޒ‬ Propriétés Soient trois réels a, b et c. Si a

R. 2) Dérivée d'une fonction affine (x ―> ax+b) Si f(x)=ax+b alors la dérivée sur R est f'(x)=1. * Cas particuliers: Si f(x)=x Alors f'(x) = 1 (car a=1). Si f(x)=b (constante) Alors f'(x) = 0 (car a=1) 3) Dérivée de la fonction carrée (x ―> x²) Si f(x) = x² alors la dérivée sur R est f'(x)=2x Exemple: f(x)=x² Calculer f'(2) et l'équation de la tangente en a=2. Si f(x)=x² alors f'(x)=2x, donc f'(x)=2×2=4 Équation: y= f'(a)(x-a)+f(a). y= f'(2)(x-2)+f(2)

a u0 = 2 et u1 = 2 , donc 0 < u1 < u0. P(0) est vérifiée. Supposons que pour un certain rang n, 0 < un+1 < un . La fonction racine carrée étant croissante sur ! + on a 0 < un+1 < un et donc 0 < un+2 < un+1. P(n+1) est donc vraie. D’après le principe de récurrence, pour tout n ≥ 0, 0 < un+1 < un. La suite (un) est donc décroissante. Notons que la fonction racine carrée est croissante mais que la suite (un) est décroissante. Exercice : Étudier la monotonie de la suite définie par la même relation

coefficient directeur est f ’(a). Une équation de cette tangente est : f (a + h) − f (a) h f ( x) − f (a) ou f '(a) = lim x →a x −a f '(a) = lim h →0 Illustration y = f '(a)(x − a) + f (a) Existence d’une tangente et dérivabilité La fonction racine carrée de même que les fonctions x ↦ xα avec 0 < α < 1 ne sont pas dérivables en 0. Leurs courbes admettent cependant une tangente verticale au point origine d’abscisse 0. 3 y=rac(x) 2 y=x^1/4 1 0 1 2 3 4 5 1 25/09/2014 Dérivation globale

{draw:frame} {draw:frame} I ; vo u(-x) = vo u(x) , v o u est paire. Soit f la fonction définie par f(x) = {draw:frame} {draw:frame} ; f est continue sur IR Vrai Sur ]-∞ ; 1[, f est affine donc continue et sur ]1 ;+∞[ f est la fonction racine carrée donc continue. En 1 : f(x) = 2 {draw:frame} {draw:frame} 1-1=1 et {draw:frame} {draw:frame} donc f est continue en 1 Ainsi f est continue sur IR Soit f la fonction définie par f(x)= {draw:frame} {draw:frame} , f est dérivable

3 Une somme de deux fonctions a) M ( x ; x ) 1 N  x ; --  x 1 P  x ; x + -- .  x Si A ( x ; 0 ) , P est sur la demi-droite [ N ; M ) telle que NP = AM . b) u 4 Travaux dirigés 4.1. Autour de la fonction racine carrée A. Notions utilisées • Fonction racine carrée. • Tableau de variation et courbe représentative des fonctions u + λ , λu ( λ 0 , λ 0 ) , x → u ( x + λ ) . u étant une fonction de référence, λ un réel. • Décomposition d’une fonction y : x → g ( x ) sous la forme x → f

fonctions dérivées des fonctions usuelles. Fonction constante | ℝ | k | 0 | Fonction affine | ℝ | ax+b | a | Carré | ℝ | x2 | 2x | Cube | ℝ | x3 | 3x2 | Puissance de x | ℝ | xn (n &gt; 0) | n xn-1 | Fonction inverse | ℝ+ | | | Fonction racine carrée | ℝ+* | | | Opérations sur les fonctions dérivablesSomme et produit par un réelSoient u et v deux fonctions dérivables sur

. . 1.3 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions de références 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les fonctions puissances entières 2.3 Fonction valeur absolue . . . . . 2.4 Fonction racine carrée . . . . . . 2.5 Fonction inverse . . . . . . . . . 2.6 Fonction exponentielle . . . . . 2.7 Fonction logarithme . . . . . . . 2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . 2.9 Solutions des exercices . . . . . 15 15 16 16 19 19 20 20 21 21 22 22 23 24

  Dire que f est continue en a signifie que f admet une limite en a égale à f (a) . Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout réel de I. Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont continues sur R. La fonction racine carrée est continue sur 0;. Les fonctions construites par opérations ou par compositions à partir des précédentes le sont aussi sur     ensemble de définition.  leur 6. Théorème des valeurs intermédiaires Si f est continue sur