Raison d'une suite

Activité 1 : On étudie l'évolution d'une population de rongeurs sur une île pendant plusieurs années et on a représenté graphiquement les premiers termes des suites ainsi obtenues. a) b) c) d) e) f) 1) Dans chacun des cas suivants, décrire l'évolution observée. On souhaite utiliser ces études pour prévoir la population à l'avenir, en supposant que l'évolution continue de la même façon. 2) Dans quel(s) cas la population semble-t-elle se stabiliser ? Autour de quelle « population limite » ? →

SUITES NUMERIQUES I. Limite d'une suite définie par son terme général 1. Limite infinie Soit (U n ) la suite définie pour tout entier naturel n , par U n=n2 Le nuage de points représentant les 50 premiers termes de (U n ) , ainsi qu'un tableau de valeurs pour de « très grandes valeurs » de n , sont donnés ici. n Un 50 500 1000 5000 10000 12000 Il semble que quel que soit l'entier p que l'on choisit,on peut trouver un entier N pour lequel U N >10 p Par exemple, pour avoir U

Définition de la limite d’une suite 7 1. 16. STL France, Juin 2006 7 1. 17. Suite récurrente 1 8 1. 18. Suite récurrente 2 10 1. 19. Suite récurrente 3, Pondicherry 2003 10 1. 20. Suite récurrente 4 11 1. 21. Suite récurrente 5 11 1. 22. Suite récurrente 6 11 1. 23. Suite récurrente 7, Haddock 11 1. 24. Suite récurrente 8, Antilles 2003 12 1. 25. Suite récurrente 9, Syracuse 13 1. 26. Suite récurrente 10, EFREI 2001 13 1. 27. Suite récurrente 11, homographique 14 1. 28. Suite récurrente 12, La Réunion

1 : Généralités sur les suites I – Suite arithmétique a. Définition par récurrence r = raison n = entier naturel Suite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante. La différence est la raison. b. Terme général Uo = premier terme de la suite p et m = entiers naturels Sommes des premiers entiers consécutifs : II – Suite géométrique a. Définition par récurrence q = raison n = entier naturel b. Terme général

Synthèse Dans cette séquence, il s’agit d’une part d’approfondir la notion de suites numériques permettant la modélisation d’un certain nombre de phénomènes discrets et d’autre part, à travers l’étude des limites de suites, de préparer la présentation des limites de fonctions. Séquence 1 – MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Généralités sur les suites 1. Généralités a) Définition et notations Définition On appelle suite numérique toute fonction numérique définie

LES SUITES Avant de commencer l’exercice, reconnaître quel type d’exercice on a à traiter en fonction de la (ou des ) suite(s) définie(s) dans l’énoncé et en fonction aussi des questions posées. On peut considérer en terminale que l’on a trois types d’exercices suivant que l’on travaille avec : ( ) avec n entier naturel  Une suite définie par une formule explicite :  Une suite définie par une relation de récurrence : ( )  Des suites adjacentes. Comme toujours les outils que l’on utilise sont les

Définitions : Définition 1 : Soit u n  une suite. 1. La suite u n  est majorée s’il existe un réel M tel que u n ≤M pour tout entier n. 2. La suite u n  est minorée s’il existe un réel m tel que u n ≥m pour tout entier n. 3. La suite u n  est bornée si elle à la fois majorée et minorée. Remarque 1 : Soit une fonction f majorée (resp. minorée, bornée),  Si la suite u n  définie par u n = f n  existe alors elle est majorée (resp. minorée, bornée).  Si une suite  v n  vérifiant v n1= f  v n 

vérifier, il faudrait procéder à une infinité de vérifications, ce qui est impossible. Le raisonnement par récurrence permet de conclure en deux étapes. L'idée du raisonnement par récurrence peut être imagée ainsi : Si l'on peut se placer sur le barreau d'une échelle, et si l'on peut passer d'un barreau quelconque au suivant, alors on peut gravir tous les barreaux, à partir du barreau initial. 2. Le principe Propriété 1 Pour montrer qu'une propriétédépendant d'un nombre entier naturelest vraie pour

1 LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n ) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞ 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 Si « u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit De manière plus mathématique : que la suite ( u n ) a pour limite + ∞ . Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n > M On note lim u n =

Vocabulaire Définition 1 1. Une suite (u n ) est strictement croissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 > u n . 2. Une suite (u n ) est strictement décroissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 < u n . 3. Une suite (u n ) est stationnaire à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 = u n . 4. Une suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite (u n ) est minorée s’il existe