Rayon de convergence

le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : n n 1. ∑+∞ n=1 (ln n) z √ n n 2. ∑+∞ n=1 ( n) z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n C2n n nn z (ln(n!))a n z n!b n a n 1+bn z , (a, b) n4 n z ∈ (R∗+ )2 Correction [005745] Exercice 2 Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de

I Rayon de convergence 1/9 Table des matières I Rayon de convergence 1 I.1 Série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Convergence d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Propriétés de la somme, cas réel 4 II.1 Intégration . . . . . . . . .

MP 2011/2012 Chapitre 12 : Séries entières 1 Chapitre 12 – Séries entières 1 1.1 Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les

an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ fn (x) n+1 donc ∆ = R. ∞ xn Exemple

voisinage d'un point...) d'un domaine U sont égales sur U.  Toute série entière est analytique dans son disque de convergence.  Toute fonction analytique sur U est localement la somme de sa série de Taylor. 1.1. Séries entières, rappels 1.1.1. Disque de convergence. soit S (z) = n≥0 an z n une série entière. Il existe un réel ρS ≥ 0, appelé rayon de convergence de la série, et vériant  S est absolument convergente dans le disque DρS  S diverge (non bornée) en dehors du disque

chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n (b) (f ) n≥2 (−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n (c) (g) (−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n (d) (h) xn n≥0 cosh n n! n≥0 x . Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries enti`res e e e 2. En d´duire le rayon de la s´rie suivante : e e 1 2n+1 − 5 5 × 3n+1

ann´es ant´rieures ` 2006) est sur le site sans corrig´s. e e a e 3 2 ANALYSE 2.1 Concours communs polytechniques CCP 1 1 n(ln n)α a- Montrer que si α 0 la s´rie de terme g´n´ral un diverge e e e e e b- Lorsque α > 0 ´tudier la convergence de la s´rie un = CCP 2 8 points. 2 fois 1- Soit (fn )n∈N une suite d’applications continues convergeant uniform´ment vers f sur [a,b]. Montrer que e b converge vers a f (x)dx 2- Montrer que 0 1 2 b a fn (x)dx +∞ n=0 xn dx = +∞

numérique an z n est absolument convergente. |z| < |z0 |, la Dénition du rayon de convergence : R Etant donné une série entière an z n , on note A l'ensemble des réels positifs n r tels que la suite (an r ) soit bornée. On dénit de la série entière an z n par : le rayon de convergence R = sup A = sup{r ∈ R+ , (an rn )n∈N born´e} e Théorème : Soit an z n une série entière de rayon de convergence R. • • Pour tout complexe z vériant Pour tout complexe z vériant |z|

Séries entières 9-1 Sommaire 1. Séries Entières, Convergence 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Série entière . . . . . . . . . . . . . . Rayon de convergence . . . . . . . . Disque ouvert de convergence . . . . Recherche du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 3.3. Développements usuels . . . . . . . . . . . . 5 1 4. Développement en S.E., Somme de S.E. 4.1. Fonction développable en série entière . . . 4.2. Développement en série entière . . . . . . . 4.3. Sommation de

entière de rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n 1 Séries entières Rayon et domaine de convergence Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1 n 0 nn 3n z n! Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de an z n . Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence