Récurrence transfinie

SUITES (Partie 1) I. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). Principe : On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré

au sujet des suites 1 1. 2. QCM divers, La Réunion 2005 2 1. 3. QCM, Antilles remplt 2007 2 1. 4. ROC+VF justifié, France 2010, 5 pts 3 1. 5. VF justifié, Polynésie, nov 2010, 3 pts 3 1. 6. Raisonnement par récurrence 1 4 1. 7. Raisonnement par récurrence 2 4 1. 8. Raisonnement par récurrence 3 5 1. 9. Géométrique 1 5 1. 10. Géométrique 2 : des sous 6 1. 11. Nombres de Fermat 6 1. 12. Somme de termes 6 1. 13. Les lettres de Gaston 6 1. 14. De Mesmaeker 7 1. 15. Définition de la limite d’une suite

RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE Exemple 1 On considère la proposition P(n) dépendant d'un entier n : « 10n - (-1)n est un multiple de 11 » (On rappelle qu'un nombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 x k avec k ∈ ZZ ) Vérifions que cette proposition est vraie pour les entiers n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Pour n = 0 : 10n - (-1)n = 100 - (-1)0 = 1 - 1 = 0 = 11 x 0 Pour n = 1 : 10n - (-1)n = 101 - (-1)1 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11 = 11 x 1 Pour n = 2 : 10n - (-1)n = 102 - (-1)2 = 100 - 1 = 99

3 - 5 ˆ ˙ = Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ 5 ÍÎË 2 ¯ Ë 2 ¯ Ë 2 ¯ Ë 2 ¯ ˙˚ 2 2 Ê1 + 5 ˆ 3 + 5 Ê1 - 5 ˆ 3- 5 Or Á et Á . = = ˜ ˜ Ë 2 ¯ Ë 2 ¯ 2 2 D’où uk + 2 k +2 k +2 È Ê1 - 5 ˆ ˘ 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ ˙. = -Á Á ˜ Ë 2 ˜¯ ˙˚ 5 ÍÎË 2 ¯ Conclusion D’après le principe de récurrence, comme P(0) et P(1) sont vraies, on peut conclure que pour tout nombre n n È Ê1 - 5 ˆ ˘ 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ ˙ entier naturel n, un = Á ˜ ÁË ˜ . 2 ¯ ˙˚ 5 ÍÎË 2 ¯ un +1 = 1, 618 034. un 3. a) On note P(n) la propriété : n n È Ê1 - 5 ˆ ˘ 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ ˙ « un

Le pape est le chef des chrétiens. C'est une vieille idole qu'on encense par habitude. Il était autrefois redoutable aux princes même: car il les déposait aussi facilement que nos magnifiques sultans déposent les rois d'Irimette et de Géorgie. Mais on ne le craint plus. Il se dit successeur d'un des premiers chrétiens, qu'on appelle saint Pierre, et c'est certainement une riche succession: car il a des trésors immenses et un grand pays sous sa domination. Les évêques sont des gens de loi qui

Hume nous expose l’idée de l’existence de Dieu. Son existence pose plusieurs questions, comment dire que Dieu existe ? A quoi ressemble-t-il ? En effet penser que Dieu existe, c’est penser que le monde a un sens et que les êtres vivants ont une fonction. Donc pourquoi avoir cette présence d’être humain ayant un début et une fin dans le monde ? Est-ce logique de dire que c’est Dieu ? L’enjeu est important sur ce sujet. Comment savoir si Dieu existe ? Alors comment explique-t-on notre existence ?

Nios II, le processeur embarqué d'Altera annonce une nouvelle aire pour l'électronique Imaginez que vous pouvez changer le processeur de votre téléphone potable, PDA, téléviseur ou n’importe quel équipement par un simple téléchargement sur internet. Imaginez que le processeur que vous achetez vous sera livré sur un CD ou une clé USB. Les processeurs embarqués ne cessent de s’améliorer en termes de performances, flexibilité et portabilité

COLLÈGE NAZARETH BREVET BLANC N°1-2009- MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures. Les calculatrices sont autorisées ainsi que les instruments usuels de dessin. Présentation, orthographe et rédaction : 4 points. On veillera à bien numéroter les exercices. Les 3 parties seront faites sur des feuilles séparées. Partie I : Activités numériques (12 points) Exercice 1 : (/4) On pose : A = +  : – ) et B = 10– 4 500 (10²)3 ; 0,7 108)) 1. Calculer A et

Étape 1 : Plan comparatif du développement Point de vue : Oui. Dans les deux textes à l’étude, la présentation des Français est davantage semblable que différente. |Argument principal 1 | |      Dans les extraits présentés, Jacques Cartier et le baron de Lahontan présentent les Français comme étant un peuple matérialiste. | |Sous-argument 1.1

IV : L’argent comme force 1 : Force économique 1«et, de ces ruines chaudes encore, elle sentait déjà germer, s'épanouir au soleil toute une floraison. »(493)  2« « Et, dans ces plaines dépeuplées, ces cols déserts, que nos lignes ferrées traverseront, vous verrez toute une résurrection, …..la vie enfin revenir comme elle revient à un corps malade, lorsque dans les veines appauvries, on active la circulation d'un sang nouveau...Oui : l'argent fera des prodiges. Et, devant l'évocation de cette