Réduction d'endomorphisme

leur utilisation dans le cours. Algèbre Volume Horaire : 45 heures: 22,5h Cours + 22,5 h TD. Objectif : Initiation aux techniques hilbertiennes. Descriptif : - Espace euclidien et préhilbertien - Matrices orthogonales SL/2 (de Rn) - Réduction d’endomorphisme symétrique - Techniques hilbertiennes - Norme euclidienne - Formes quadratiques Analyse Mathématique Volume Horaire : 45 heures: 22,5h Cours + 22,5 h TD. Objectif : Mathématiques générales de bases Descriptif : Introduction à la topologie

DECOMPOSTION PRIMAIRE D’UN POLYNOME 1 Réduction d’endomorphismes Diagonalisation de matrices A. DAOUDI Notions abordées I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice II. Sous-espace propre associé à une valeur propre III. Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme/matrice IV. Conditions de diagonalisation d’un endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  . Pour )(, KN nMn   désigne l’ensemble des matrices carrées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . . 6.5 Exponentiation matricielle . . . . . . . . . . .

régulier. 4 - Branches infinies : définition des droites asymptotes. B) Pratique de l’étude des arcs paramétrés dans le plan 1 - En paramétriques : réduction de l’intervalle d’étude ; recherche des asymptotes, direction asymptotiques et de branches paraboliques. 2 - Cas des courbes représentatives de fonctions. 3 - En polaires : courbes r = f (θ). Réduction de l’intervalle d’étude. Recherche des tangentes. C) Coniques 1 - Coniques : définition par directrice, foyer et excentricité, équation dans un r

. . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Alg`bre lin´aire et g´om´trie affine . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 3.2.1 Espaces vectoriels, applications lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Formes bilin´aires sym´triques et formes quadratiques e e ´ 3.3 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . 3.3.1 Sous-espaces stables, polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens

Si A admet une unique valeur propre λ, alors A est diagonalisable si et seulement si A = λI. Si 0 est l’unique valeur propre de A, alors A n’est pas diagonalisable. 21. Composition d’endomorphisme Certains résultats sur les noyaux et images sont assez souvent utilisés lorsqu’on étudie les composés d’endomorphismes. On retiendra donc : et et en particulier et qui se généralise en qui se généralise en Ces propriétés ne sont pas des propriétés du cours et doivent donc être démontrées. 22. Commutant

d’algèbre linéaire 2001/2002 Université de Cergy Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Dans cette partie K = R ou C et E un K-espace vectoriel. Théorème Soient u , v des endomorphismes de E qui commutent. Alors 1. Tout-sous espace propre relativement à u est stable par v. 2. ker u et im u sont stables par v. Polynômes d’endomorphismes Soit u ∈ L(E). On définit l’application φu : K[X] → L(E), φu (P ) = P (u) C’est un morphisme de

A admet une unique valeur propre λ, alors A est diagonalisable si et seulement si A = λI. Si 0 est l’unique valeur propre de A, alors A n’est pas diagonalisable. 21. Composition d’endomorphisme Certains résultats sur les noyaux et images sont assez souvent utilisés lorsqu’on étudie les composés d’endomorphismes. On retiendra donc : et et en particulier et qui se généralise en qui se généralise en Ces propriétés ne sont pas des propriétés du cours et doivent donc être démontrées.

= 3 Une solution de ce système est une fonction ' : I R ! Rn de classe C p , I étant un intervalle quelconque, telle que 8t 2 I; (t; ' (t) ; '0 (t) ; '00 (t) ; '000 (t)) 2 O , 2 t'1 (t) + ('000 = 0 2 (t)) 00 000 '2 (t) '1 (t) + '1 (t) sin t = 0 Réduction à la forme normale Dans l’écriture des fonctions Fj , on conserve la première variable et les n(p + 1) autres variables sont formellement remplacées par n fonctions inconnues xi (de cette première variable) et leurs dérivées jusqu’à l’ordre p. On

Réduction Z  ZZ  Z    Z Z  Z Z Exo7 Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile Exercice 1 **   1 2 2 Soit A =  2 1 2 . Pour n entier relatif donné, calculer An par trois méthodes différentes. 2 2 1 Correction [005651] Exercice 2 **  3 0 0 Résoudre dans M3 (R) l’équation X 2 = A où A =  8 4 0 . 5 0 1 Correction [005652] 