Réduction d'endomorphisme

Exercice 16. [ENS] ('18) Soient λ > 0 et X, Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre λ. On pose M = max {X,Y }. Déterminer un équivalent de P (M = n) lorsque n tend vers l'in�ni.Stanislas Révisions Réduction T.D. IV PSI 2021-2022 � � � I. Matrices & Endomorphismes explicites Exercice 1. [ccinp] ('21) Pour tout m réel, on pose Am =−m− 1 m 2 −m 1 m −2 m m− 3 . 1. Déterminer, en fonction des valeurs de m, les valeurs propres et les sous-espaces

analyse et en g´om´trie affine et euclidienne ; il comporte e e e en outre l’´tude de l’arithm´tique ´l´mentaire et des polynˆmes ` une ind´termin´e. e e ee o a e e En seconde ann´e, le programme d´veloppe de nouveaux concepts (dualit´, polynˆmes d’endomorphismes, e e e o valeurs propres et sous-espaces propres, r´duction des endomorphismes d’un espace vectoriel et des e MP 3 endomorphismes sym´triques d’un espace vectoriel euclidien, r´duction des matrices). Il comporte en outre e e quelques

4.1 4.2 L’essentiel du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 5. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 5.2 5.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

propres de u, lin´airement ind´pendants, e e e e associ´s ` la valeur propre λ. Alors e a k X i=1 αi xi est vecteur propre de u associ´ ` la valeur propre ea λ o` les αi (1 ≤ i ≤ k) sont des scalaires non tous nuls. u 22 ´ CHAPITRE 6. REDUCTION DES ENDOMORPHISMES Propri´t´ 6.2.4 Soient x1 , x2 , . . . , xk des vecteurs propres de u associ´s respectivement aux e e e valeurs propres λ1 , λ2 , . . . , λk deux ` deux distinctes. Alors la famille {x1 , x2 , . . . , xk } est a libre. 6

Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . . . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . 40.6 Endomorphismes de composition 40.7 Similitude . . . . . . . . . . . . 40.8 Usage de la réduction . . . . . . 40.9 Réduction par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´½   Ô¾µÒ º ¦ Ö ℄ On a ´½   Ô § ARIº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ Ò Ò Ø ¦ Ö ℄ É Ô Ò   Ò , donc ¾Ò  ¾ ¾Ò ¾µÒ Ô ´½· ¾µÒ ´½  ¾µÒ ÒÓÑ Ö × ÔÖ Ñ Ö× ¾ ´ ½µÒ , et on applique le th´eor`eme de B´ezout. ÓÖÑ Ô Ð Tout d’abord, É est non vide ( É). Reduction ad absurdum. ❏ On suppose que cet ensemble É est fini. Alors Õ½ ÕÒ ½. On a alors Õ ¿ ÑÓ , Ò . On pose Ë ½   § ARIº Ò · ¿ Ú Ò ¾ Æ£ º Ë ¿ ÑÓ donc, comme Ë ¾ É, Ë est non premier. Or Ë impair, et Ë est premier avec tous les Õ , donc tous les diviseurs

de dimension finie 69 32 Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 14 TABLE DES MATIÈRES 36 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 36.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2 Valeur propre, vecteurs propres et sous espaces propres d’un endomorphisme 36.3 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.4 Matrices carrées diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.5 Réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

faisant tendre X vers l’infini, 1 on a : b + c = 0, d’où b = −c = − . 4 Ainsi, on obtient la décomposition en éléments simples de f (x) : 1 1 1 1 1 1 − + , ∀ x ∈ ] − 1 ; 1[, f (x) = 2 2 (x − 1) 4 x −1 4 x +1 que l’on peut d’ailleurs contrôler par réduction au même dénominateur. Notons u,v,w : ] − 1 ; 1[−→ R les applications définies, pour tout x ∈ ] − 1 ; 1[, par : u(x) = 1 1 1 . , v(x) = , w(x) = x +1 x −1 (x − 1)2 Il en résulte, par addition, que f est de classe C ∞ sur R et que, pour tout n ∈

faisant tendre X vers l’infini, 1 on a : b + c = 0, d’où b = −c = − . 4 Ainsi, on obtient la décomposition en éléments simples de f (x) : 1 1 1 1 1 1 − + , ∀ x ∈ ] − 1 ; 1[, f (x) = 2 2 (x − 1) 4 x −1 4 x +1 que l’on peut d’ailleurs contrôler par réduction au même dénominateur. Notons u,v,w : ] − 1 ; 1[−→ R les applications définies, pour tout x ∈ ] − 1 ; 1[, par : u(x) = 1 1 1 . , v(x) = , w(x) = x +1 x −1 (x − 1)2 Il en résulte, par addition, que f est de classe C ∞ sur R et que, pour tout n ∈