Règle de Raabe-Duhamel

diverge. Ecrivant la STG un comme somme d’une série convergente et d’une série divergente, on obtient que la série de terme général un diverge. http://www.bibmath.net 2 Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé 4. On va utiliser la règle de d’Alembert. Pour cela, on écrit : un+1 un = (n + 1)α × exp n ln(ln(n + 1)) − ln ln n nα × ln(n + 1) n+1 Or, la fonction x → ln(ln x) est dérivable sur son domaine de définition, de dérivée x → 1 x ln x . On en déduit, par l’inégalité des accroissements

proposition : Proposition 1.3.1 Soit un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn )n est majorée Preuve. Il suffit d’appliquer la remarque (1.3.1) et de se rappeler que les suites croissantes et majorées sont convergentes. Théorème 1.3.1 (Règle de comparaison) Soit un vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout n ∈ N. Alors : 1. vn converge =⇒ 2. un diverge =⇒ Preuve. un converge. vn diverge. n 1) un ≤ vn =⇒ Sn = k=0 n un ≤

10 Le théorème de d’Alembert peut se déduire de celui de Cauchy en utilisant un+1 √ le théorème 22.60 (si lim = λ, alors lim n un = λ) qui est une conséquence n→+∞ n→+∞ un du théorème de Césaro. Ce résultat peut s’exprimer en disant que la règle de Cauchy est plus générale que celle de d’Alembert. Pratiquement cela signifie que le théorème de Cauchy pourra permettre de conclure (mais pas toujours) si celui de d’Alembert ne le peut pas, c’est-à dire si un+1 la suite ne converge pas. un

continues . . . . . . . . . . . . C.2 Dérivation des fonctions à variable réelle C.3 Variation des fonctions . . . . . . . . . . C.4 Développements limités . . . . . . . . . . C.5 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . C.6 Intégrale des fonctions réglées . . . . . . C.7 Calculs des primitives . . . . . . . . . . . C.8 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . C.9 Équations différentielles . . . . . . . . . Formules de trigonométrie circulaire Formules de trigonométrie hyperbolique . . . . . .

([a, b]) est un intervalle. [003941] Exercice 3942 Règle de l’Hospital Soient f , g : [a, b] → R dérivables avec : ∀ x ∈ ]a, b[, g (x) = 0. 1. Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que : f (b)− f (a) g(b)−g(a) = f (c) g (c) . (Appliquer le théorème de Rolle à f − λ g, où λ est un réel bien choisi) 2. En déduire que si f (x) g (x) → lorsque x → a+ , alors 3. Application : déterminer limx→0+ f (x)− f (a) g(x)−g(a) → lorsque x → a+ (règle de l’Hospital). cos x−ex (x+1)ex −1 . [003942] Exercice

x−y Montrer que ϕ(E) est un intervalle. Exercice 3942 Règle de l’Hospital Soient f , g : [a, b] → R dérivables avec : ∀ x ∈ ]a, b[, g (x) = 0. 1. Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que : 2. En déduire que si f (x) g (x) f (b)− f (a) g(b)−g(a) f (c) . g (c) f (x)− f (a) g(x)−g(a) = (Appliquer le théorème de Rolle à f − λ g, où λ est un réel bien choisi) → lorsque x → a+ , alors cos x−ex . (x+1)ex −1 → lorsque x → a+ (règle de l’Hospital). 3. Application : déterminer limx→0+ [003942]