Règle du parallélogramme

Christophe Bertault - MPSI Théorème (Identités du parallélogramme et de polarisation) Soient E un espace préhilbertien réel et x, y ∈ E. (i) Identité du parallélogramme : (ii) Identités de polarisation : x+y (x|y) = 2 1 2 + x−y x+y 2 2   2 =2 x − x 2 2 − y 2 + y = ¡ . 1 4 2 x+y Explication L’identité du parallélogramme affirme que la somme des carrés des côtés d’un parallélogramme est égal à la somme des carrés des longueurs de

part de Paris pour aller à Kiev en faisant une escale à Rome. Règle du parallélogramme n°1. = équivaut à : « ABDC est un parallélogramme ». Règle du parallélogramme n°2. Sietalorsoù R est le point défini de sorte que OMRN est un parallélogramme.

point M du plan, le point M’ tel que la droite �� soit la médiatrice de [MM’]. M' M Propriétés Se souvenir Les symétries centrales sont des transformations qui conservent les longueurs et les angles. C Les parallélogrammes Définition Un parallélogramme ABCD est un quadrilatère non croisé qui admet un centre de symétrie, c’est-à-dire tel qu’il existe un point O centre d’une symétrie transformant l’ensemble {A, B, C, D} formé des quatre points A, B, C et D en luimême. On montre

Les parallélogrammes ᕡ Un parallélogramme ABCD est un quadrilatère non croisé qui admet un centre de symétrie, c‘est-à-dire tel qu‘il existe un point O centre d‘une symétrie transformant l‘ensemble {A, B, C, D} formé des quatre points A, B, C et D en luimême. On montre, alors que par cette symétrie, A a forcément pour image C et B a forcément pour image D. 4 Séquence 5 – MA20 © Cned – Académie en ligne C Se souvenir D Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si ses

Chapitre 6 Vecteurs (1) 6.1 Révisions a. Compléter : i. Par définition, un quadrilatère est un parallélogramme si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii. Si ABC D est un parallélogramme, alors [AC ] et [BD] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Parallélogrammes1-Définition On définit un parallélogramme comme un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.2-Caractérisation équivalente : Les propriétés suivantes permettent aussi d’identifier un parallélogramme.a) Sur les côtés opposés - Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles entre eux . - Si un quadrilatère est un parallélogramme non croisé, alors ses

est un parallélogramme (éventuellement aplati). AA'= BB' A' Les vecteurs  et  ont même longueur, même direction et AA' BB' même sens. A Remarques : Les 4 points sont coplanaires. B' L'égalité   est équivalente à   ,   et AA'= BB' A'A= B'B AB=A'B'  . BA= B'A' B Le vecteur  est appelé vecteur nul, on note  0 . AA AA= 2. Addition de deux vecteurs    v Quels que soient les vecteurs u et v on peut définir un vecteur noté u  en utilisant la relation de Chasles ou la règle du parallélogramme

ABDC est un parallélogramme. Relation de Chasles. Construire géométriquement la somme de 2 vecteurs. Coordonnées d’un vecteur, coordonnées de la somme. 1) TRANSLATION Définition : Soient A et B deux points distincts du plan. A tout point C du plan, on associe, par la translation qui transforme A en B, l’unique point D tel que [AD] et [BC] ont le même milieu. 1er cas : C∉( AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme 2ème cas : C∈( AB) On dit que ABDC est un parallélogramme aplati.

quadrilatère IJKL a donc ses côtés opposés deux À deux parallèles donc IJKL est un parallélogramme b) Si ABCD est un rectangle alors IJKL est un losange. Car AC=BD puisque I est le milieu de [AB] et J le milieu de [BC], en appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC : De même puisque K est le milieu de [CD] et L le mi Lieu de [DA], KL= AC=BD donc KL=IJ. IJKL est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifs [IJ] et [KL] sont de même longueur donc IJKL est un losange

RAPPELS DE GÉOMETRIE (sans didactique) Des animations avec applets java illustrant différentes parties de ce document sont disponibles à cette adresse : http://dpernoux.free.fr/ExPE1/anim.htm Les constructions géométriques élémentaires avec une règle non graduée et un compas ne sont pas rappelées dans ce document mais on les trouve ici : http://perso.orange.fr/pernoux/conselem.pdf Et des animations en ligne reproduisant toutes ces constructions sont disponibles à cette adresse : http://pernoux