Relation d'équivalence

d'Algèbre du 1er semestre Exercice 1. 1. Soit E un ensemble. Montrer que pour A et B de P (E) : (a) A ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A . (b) A ∩ B = A ∪ B ⇐⇒ B ⊂ A = B . 2. Soit la relation ∼ dans P (E) dénie par : A ∼ B ⇐⇒ ∃X ⊂ E / X ∩ A = X ∩ B (a) Montrer que ∼ est une relation d'équivalence. (b) Donner les classes d'équivalence de ∅ et de E . Exercice 2. 1. Soit la fonction f de R vers R dénie par : ∀x ∈ R, f (x) = 4x . +1 x2 1 (a) Montrer que ∀α = 0 : f (α) = f α . (b) f est-elle

alterne-internes isométriques, alors ces deux droites sont parallèles. Théorème 3 La relation R, dénie dans l'ensemble des secteurs par [ABC] R [A B C ] ⇔ [ABC] et [A B C ] sont isométriques, est une relation d'équivalence. Dénition 4 On appelle angle une classe d'équivalence selon la relation R dénie dans l'ensemble des secteurs par : [ABC] R [A B C ] ⇔ [ABC] et [A B C ] sont isométriques. Notation : La classe d'équivalence de [ABC] est notée ABC . Ainsi [ABC] ∈ ABC , on dit que le secteur [ABC]

alterne-internes isométriques, alors ces deux droites sont parallèles. Théorème 3 La relation R, dénie dans l'ensemble des secteurs par [ABC] R [A B C ] ⇔ [ABC] et [A B C ] sont isométriques, est une relation d'équivalence. Dénition 4 On appelle angle une classe d'équivalence selon la relation R dénie dans l'ensemble des secteurs par : [ABC] R [A B C ] ⇔ [ABC] et [A B C ] sont isométriques. Notation : La classe d'équivalence de [ABC] est notée ABC . Ainsi [ABC] ∈ ABC , on dit que le secteur [ABC]

Relations d’´quivalence e ´ 1. Definitions D´finitions-Notation 1.1. Soit E un ensemble. e • Une relation sur E est la donn´e d’un sous-ensemble R de E × E. e • Une relation R sur E est dite (1) r´flexive si l’on a e (x, x) ∈ R (2) sym´trique si l’on a e (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (3) transitive si l’on a [(x, y) ∈ R] ∧ [(y, z) ∈ R] ⇒ [(x, z) ∈ R] ∀x, y, z ∈ E . • Une relation d’´quivalence sur E est une relation r´flexive, sym´trique et transitive. e e e • En g´n´ral, si R est une relation sur E, on

à la proposition 4.4 appliquée à k). On en déduit des identifications: u! = (ku )! k! u! k! k ∗ k! u! k! k ∗ u! . Notons j : D −→ B {x} le foncteur d’oubli. On a les égalités kj˜ = vi (où i est l’inclusion de v dans ). On en ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ déduit les relations i v = v j k . On obtient donc des isomorphismes canoniques ˜ p ! i∗ v ∗ u ! p ! v ∗ j ∗ k ∗ k! u ! ˜ pD! j ∗ k ∗ k! u! pD! j ∗ k ∗ u! . Or il résulte de l’axiome Der 3d que le foncteur pD! j ∗ k ∗ u! s’identifie canoniquement à x∗ k! k ∗ u! x∗

| Exemples | | | Prononciation | | | | | Branche | | | |  ! | Factorielle | n! est le produit : 1 × 2 × ... × n. | 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 | | | Factorielle (de) n. | | | | | Combinatoire | | | | ~ | Relation d'équivalence | | | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Théorie des ensembles | | | | | Équivalence | an ~ bn signifie que les suites an et bnsont équivalentes | sin(1/n) ~ 1/n (lorsque n tend vers l'infini) | | | « ... est

| Exemples | | | Prononciation | | | | | Branche | | | |  ! | Factorielle | n! est le produit : 1 × 2 × ... × n. | 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 | | | Factorielle (de) n. | | | | | Combinatoire | | | | ~ | Relation d'équivalence | | | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Théorie des ensembles | | | | | Équivalence | an ~ bn signifie que les suites an et bn sont équivalentes | sin(1/n) ~ 1/n (lorsque n tend vers l'infini) | | | « ... est

Relation binaire Pascal Lainé RELATION BINAIRE Exercice 1 : { Soit la relation binaire sur dont le graphe est {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 1. Vérifier que la relation est une relation d’équivalence. 2. Faire la liste des classes d’équivalences distinctes et donner l’ensemble quotient Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : 1. Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d’équivalence sur . 2. En vous servant de la division euclidienne, montrer qu’il y a

Voici les principales définitions du cours de TS. B – La transformation d’un système chimique est-elle toujours totale ? 1. Définir le taux d’avancement final d’une réaction. 2. On considère l’équation de réaction suivante : Cu2+(aq) + 2 HO –(aq) = Cu(OH)2 (s). Exprimer la constante d’équilibre K en fonction des concentrations effectives des substances. 3. Donner l’équation de l’autoprotolyse de l’eau. 4. Donner l’expression du produit ionique de l’eau. 5. Donner la définition

Expérience 8 : Titrage de l’acide lactique dans le yogourt Table des matières Objectif de l’expérience …………………………………………………………………..Page[2] Contexte théorique ….……………………………………………………………...…..Page[2-3] Travail post laboratoire ………………………………………………………………...Page[4] Calculs ….…………………………………………………………………………………….Page[4-5] Résultats ...……………………………………………………………………………........Page[6-7] Discussion………………………………………………………………………………………..Page[8] Médiagraphie ……………………………………………………………………………….…Page[8]