Relation d'ordre

Chap 11 Relations d’ordre, r´els e 1 1.1 Relation d’ordre D´finition g´n´rale e e e ee Remarque. On admet la notion intuitive de relation (binaire) entre 2 ´l´ments d’un ensemble E. D´finition. Soit ¤ une relation sur E. On dit que ¤ est une relation d’ordre si et seulement si : e (a) (b) (c) dpx, yq € E 2, px ¤ y et y ¤ xq ùñ x  y 3 ¤ est transitive i.e. dpx, y, z q € E , px ¤ y et y ¤ z q ùñ x ¤ z ¤ ¤ est r´flexive i.e. dx € E, x ¤ x e est antisym´trique i.e. e D´finition. Soit

sous-ensemble) de E si tout el´ ment de A est un el´ ment de E. On dit aussi que A est inclus dans E et on note A ⊂ E. A ⊂ E ⇐⇒ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ E) D´ finition e ` ´e - Une fonction f d’un ensemble A vers un ensemble B, on note f : A → B, est une relation qui a chaque el´ ment de ´e A associe au plus un el´ ment de B. On exprime une fonction de A vers B sous la forme: f : A −→ x −→ B f (x) Introduction • A est appel´ l’ensemble de d´ part et B l’ensemble d’arriv´ e de la fonction f . e e e ´e •

39 40 41 42 VI Logique binaire 1re année 120 123 125 43 44 45 Groupes 1re année 136 Ensembles 1re année Autres structures algébriques 1re année 140 144 148 Applications 1re année Arithmétique dans Z 1re année Relations 1re année 128 46 130 Nombres complexes 1re année Entiers naturels 1re année 47 133 Dénombrement 1re année Exponentielle complexe 1re année 151 Table des matières 48 49 Nombres complexes et géométrie plane

de mon site pour les installer sur le vôtre. ENSEMBLES, STRUCTURES ALGEBRIQUES PLAN I : Vocabulaire 1) Règles usuelles et notations 2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux

sur les préférences. La première loi explique qu’il existe pour le consommateur une relation complète entre les différents biens, et donc que ce dernier peut à tout moment comparer un bien A à un bien B en en préférant un à l’autre ou bien en étant indifférent entre les deux biens. La deuxième loi des préférences du consommateur nécessaire à l’explication de la rationalité du consommateur et la loi de la relation réflexive des préférences. C’est-à-dire que chaque bien est au moins aussi désirable

Premières propriétés Corps ordonné On dit que l'ensemble R des nombres réels est : – un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations + et ×, avec toutes les propriétés dont vous avez l'habitude ; – un corps ordonné pour dire que la relation d'ordre est compatible avec + et ×, c'est-à-dire : a b ⇒ a+c b+c ; ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c ∈ R ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c 0 a b ⇒ ac bc . • Règles de calcul (x ∈ R , y ∈ R , n ∈ N) n (x + y)n = k=0 n k x k y n−k où n k = n! k!(n − k)

jusqu'à la décimale considérée. Nous supposerons donc plutôt qu'il existe un corps , contenant , muni d'une relation d'ordre (inégalité) compatible avec les opérations de dans le sens suivant : ∀ a, ∀ b, ∀ c, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀ a, ∀ b, ∀ c ≥ 0, a ≤ b ⇒ ac ≤ bc La relation d'ordre est dite totale, dans le sens où l'on peut toujours comparer deux réels entre eux. A noter qu'une relation jouissant des mêmes propriétés n'existe pas dans . Soit x un réel. ou bien x appartient à . x est dit rationnel

une suite (éventuellement vide) de contractions d'arêtes de G et de suppressions d'arêtes et de sommets de Gnote 11. La relation « H est un mineur de G » (qu'on notera par la suite H ≤ G) est une relation d'ordre partiel sur l'ensemble des graphes non orientés finis, considérés à isomorphisme prèsnote 12 (si l'on ne considère pas les graphes isomorphes comme identiques, la relation n'est plus antisymétrique, et on obtient seulement un préordre11). Un ordre partiel (la terminologie est parfois appliquée

celles de «ranger» ou de «trier». Trier : c'est opéré un choix éliminatoire, à partir d'un critère donné, c'est « oui » ou « non », « a » ou « n'a pas ». Ranger : c'est introduire une notion d'ordre, selon un critère continu (ordre croissant, alphabétique, ...). Classer : c'est établir des relations entre les objets afin de former des ensembles (au moins deux, souvent plus). Si l'on considère une collection de six animaux : Un tri se fera selon un critère donné, la présence ou pas

rappelons ce qu’est une relation d’ordre. Definition 1.7 [relation d’ordre] Une relation R sur un ensemble E est dite relation d’ordre si et seulement si elle est Transitive ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz ⇒ xRz ; R´flexive ∀x ∈ E, xRx ; e Antisymm´trique ∀x, y ∈ E, xRy et yRx ⇒ x = y ; e Une relation d’ordre est dite totale si ∀x, y ∈ E, xRy ou yRx. La relation ≤ est totale sur Z, R. La relation ￿ d´finie sur R2 par (x, y) ￿ (x￿ , y ￿ ) ⇔ (x ≤ x￿ ) et (y ≤ y ￿ ) est une relation d’ordre qui e n’est pas totale