Scène primitive

(ax) + C. a Calcul de primitives Remarque : Savez-vous vérifier ce point ? Faîtes le. Nous avons déjà signalé le résultat central du calcul intégral : pour toute fonction continue f : I 7! R, où I est un intervalle ouvert, il existe une fonction dérivable F : I 7! R telle que F 0 = f . Une telle fonction F s’appelle une primitive de f . Deux primitives F1 et F2 de la même fonction f diffèrent d’une constante additive : la fonction F1 F2 est constante, et donc une primitive n’est définie qu’à une

Calcul des primitives. Math122 TABLE DES MATIÈRES Calcul des primitives. Intégrales des fonctions élémentaires et Talor avec reste intégral. Table des matières 1 «Rappels» 2 2 trigonométrie 2.1 sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 tangente et fcts. réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 3 Primitives 3.1 Définitions des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Généralités A Primitives d’une fonction Les notions a) Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de . On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I et telle que : ∀x ∈ I , F ′ ( x ) = f ( x ) . b) Propriétés i. Soit F une primitive d’une fonction f sur l’intervalle I. L’ensemble des primitives de f sur I est alors constitué de toutes les fonctions de la forme F + k , où k est une constante quelconque. ii. Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle

PRIMITIVES. 1. Définition de primitives et conséquences. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x)

• 0 centrée en les entiers. ln t dt converge alors que lim ln = −∞ 0 On lira avec attention, à ce sujet, le paragraphe sur les contre-exemples. 2 2.1 Calculs d’intégrales impropres Recours à une primitive On utilise directement la définition. On cherche une primitive de la fonction et on passe à la limite. Il est important de raisonner en deux temps i.e en prenant des précautions quant à la borne qui pose problème. En effet une opération simple comme la linéarité de 2 l’intégrale

limk→bek-ebk-b=eb=elna=a. Donc limk→bk-bek-eb=limk→b1ek-ebk-b= 1eb=1a D’où limh→0Ta=1a . Lnx est dérivable et ln’x=1x CQFD « (lnu)’= u'u » (ln°u)’=ln’(u)×u'=1u×u'=u'u. « si u(x)>0 alors une primitive de u'u est lnu et si u(x)0 pour tout x de I: alors lnu est dérivable sur I et (lnu)’= u'u Donc lnu est une primitive de u'u sur I Si u(x)0X=-∞ or xlnx=eXXet limX→-∞eXX=0 par croissance comparée Donc limx→0x>0xlnx=0 En0 : méthode 2 : avec limx→+∞lnxx=0 ; on pose X=1x donc x=1X. limx→0x>0X=+∞ or xlnx=1Xln1X=-lnXX

. . . . . . . . . . . . 65 65 67 70 6 Intégrale d'une fonction d'une variable 6.1 Primitives d'une fonction d'une variable 6.1.1 6.1.2 6.2 6.3 6.4 Calcul de primitives Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 77 77 80 80 86 86 86 88 Applications des primitives au calcul d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrales généralisées 6.4.1 6.4.2

7 ACTIVITÉS Activité 1 pour hauteurs donc un = 1 f n  b) De même, supérieurs : 1 vn =  f n n un vn 5 0,24 0,44 Intégration et primitives (page 192) Ainsi les suites ( un ) et ( vn ) convergent toutes les deux vers 1 = . 3 CHAPITRE 1 1 a) Les rectangles inférieurs ont tous pour largeur et n  0  1  n − 1 respectivement f   , f   ,..., f   n  n  n    0  1  n − 1  .   + f   + ... + f   n  n  n   pour la somme des aires des rectangles  1 

f : x a cos 2 x  4  π La fonction f est continue sur  0,  et l’intégrale I existe.  4 u '( x)  π avec u ( x) = cos x et donc u '( x) = − sin x Pour tout x ∈  0,  , f ( x) = − 2 u ( x)  4 1 1  π  π = est une primitive de f sur  0,  La fonction F définie sur  0,  par F ( x) = u ( x) cos x  4  4 π/4  1  et donc I =  = 2 −1  cos x  0  Finalement : I =∫ π/ 4 0 sin x dx = 2 − 1 cos 2 x © Gérard Hirsch – Maths54 1 Calcul

variables x et Y en écrivant, sous la condition Y(x) non nul en tout point de J : Y'/Y = -b(x)/a(x) Si f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x), on a successivement ln |Y| = f(x) + C, ln désignant le logarithme népérien . Puis |Y| = ef(x) + C = eCef(x) avec C une constante arbitraire. La solution générale de (h) peut donc s'écrire : Y = k.ef(x) où f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x) et k une constante arbitraire. La solution de (e) s'obtient en ajoutant yo : y = yo + k.ef(x) La valeur