Scène primitive

Chapitre 4 1er SRI&DSI I – Les primitives : Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle différent d'un singleton . I - 1 Primitive d’une fonction : Définition : Soit f : I → ℝ ,une fonction .On dit qu'une fonction F : I → ℝ est une primitive de f sur l'intervalle I si F est dérivable sur I et si : ∀x ∈ I : F ′( x) = f ( x) . Proposition 1: Soit f : I → ℝ ,une fonction admettant une primitive F sur I .Soit G : I → ℝ ,une fonction. Alors G est une primitive de f sur l'intervalle I si et

sur l’intervalle ]0, +∞[. D’après le théorème 3, la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 g (x) = u (x) + v (x) = 0 + 1 1 = . x x Pour tout réel x > 0, f (x) = g (x) = 2. Les fonctions f et g sont donc deux primitives de la fonction x → un réel k tel que, pour tout x de ]0, +∞[, f(x) = g(x) + k. 1 . x 1 sur l’intervalle ]0, +∞[. On sait alors su’il existe x 3. Quand x = 1, on obtient f(1) = g(1) + k ou encore ln a = ln a + ln 1 + k et finalement

. 6. Démontrer que est solution de l’équation différentielle + 2 = 3 . et Exercice 2 (primitives, 4 points) Les questions sont indépendantes. 1. Déterminer les constantes réelles , , pour que la fonction = + + soit une primitive de la fonction ∶ → 2. Déterminer la primitive de la fonction définie par = 3. Déterminer les primitives de la fonction ℎ définie sur 0 ; +∞ par ℎ 4. Déterminer une primitive de la fonction définie sur − , +∞ par = 0. définie sur R par . qui s’annule pour = = . .

la dérivée seconde est positive est convexe, et toute fonction dont la dérivée seconde est négative est concave. Les primitives de la fonction f(x) = ax^2 + bx + c sont les fonctions du troisième degré de la forme  G_k(x) = \frac 1 3 ax^3 + \frac 1 2 bx^2 + cx + k, où k est une constante. Ce résultat se démontre par application des règles de calcul sur les dérivées ou primitives, ou par la méthode de la quadrature de la parabole qui mêle géométrie et passage à la limite.

x ∈ [a, b] en particulier pour b . Remarque : La démonstration qu'on vient de faire est valable aussi pour les primitives et on a la proposition suivante : Proposition : Soient u et v deux fonctions de classe C1 sur [a, b] , alors on a : u (t)v(t)dt = u(t)v(t) − u(t)v (t)dt Exemple : Calculer les intégrales et primitives suivantes : 1. I= J= ln(t)dt. 2 2. t ln(t)dt. 1 1 3. K= 0 arctan(t)dt. u (t) = 1 et Pour 1)

−4 3) e2/2 − 1/e − 1/2 4) ln(2) − ln(1 − x) pour x < 1 2 5) 1/3 6) −3/2 7) (ln2)/n 8) 1 − 2/e 9) ln(n) avec a > 0 et a ≠ 1 8 2 10) (7e + 16e + 17)/16 11) 4 − 8/e 12) π2 − 4 Rep : 1) 3 4 3 3 16 2) 2. Déterminer les primitives des fonctions suivantes. On précisera dans chaque cas l'intervalle. 2°) f(x) = x.e −x ; 1°) f(x) = ln(x) ; x2 3°) f(x) = ; x3 +1 1 . 4°) f(x) = tan(x) ; 5°) f(x) = cotan(x) ; 6°) f(x) = x. ln(x ) π π sin t cos t 3. 1°) Montrer

Fonction numérique d’une variable réelle 1. 2. 3. 4. 5. 2 3 4 3 Ensemble des Nombres réels Limite et continuité Dérivabilité Etude d’une fonction EXERCICES 3 6 10 13 15 Primitives. Calcul intégral 16 1. 2. 3. 4. 5. 16 17 19 20 21 Primitives Intégration Méthodes d’intégration Calcul approché d’une intégrale EXERCICES Formule de Taylor. Développements limités 22 1. 2. 3. 4. 5. 22 23 24 26 27 Comparaison des fonctions

mystères. Le second genre théâtral est bien moins noble. Ce sont les farces. Dans la lignée des farces se développe à partir du XVIe s. en Italie un genre théâtral fondé sur l’improvisation. C’est la Commedia dell’arte. La Commedia met en scène des personnages masqués et archétypaux qui influenceront Molière. Certains de ces personnages sont restés célèbres. A la même époque, l’Angleterre innove. Les troupes se professionnalisent et on construit des salles pour les accueillir.

élévation isolée des transaminases. Elle peut être associée à la CBP ou à l’hépatite auto-immune, et doit être dépistée au cours de ces maladies. • Les maladies inflammatoires du tube digestif s’associent fréquemment à une cholangite sclérosante primitive des voies biliaires intra- et/ou extrahépatiques. • L’usage croissant de l’azathioprine ou de ses analogues dans le traitement au long cours des maladies inflammatoires du tube digestif expose à une atteinte sinusoïdale pouvant évoluer vers une hyperplasie

Le Fjord possède une couleur de robe très caractéristique, généralement nommée isabelle, plus rarement souris. Cette robe est due au gène dun et se décline dans cinq nuances différentes, très codifiées en Norvège. Grâce à sa robe, ses marques primitives telles que la raie de mulet et les zébrures sur les membres, et sa crinière bicolore généralement taillée en brosse, le Fjord peut-être reconnu sans ambiguïté. Il est recherché le plus polyvalent possible. Originellement cheval rustique à vocation