Série de Fourier

lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme 4) Cas des fonctions T–périodiques Annexe I : Quelques

initiatives qu’il a été amené à prendre. A propos de l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux » du théorème de convergence normale d’une série de Fourier… Pour toute fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients de 2π ∫ 0 Fourier trigonométriques définis par : 1 2π 1 2π a n ( f ) = ∫ f (t ) cos(n t ) dt (pour n ∈ ) et bn ( f ) = ∫ f (t ) sin(n t ) dt (pour

des fonctions complexes f définies sur le segment 1 = [O, n] possédant L lf'(x)12 dx 4 1, f(0) = f(x) = O } . la propriété : il existe une suite complexe (bn)nJ1, telle que la série de terme général cn = n* Ibnl*, nJ1, est convergente et sa somme est majorée par 2/n, pour tout x réel de l'intervalle 1, la série trigonométrique de terme général bn sin(nx), n21, est convergente et sa somme est égale à f(x). = { f I f est définie sur 1, il existe une suite de nombres complexes bn, n2 1 telle

signal______________________________________________ 3 1.2. Rappels sur les séries et les transformées de Fourier_______________ 1.2.1 Introduction_________________________________________________ 1.2.2 Série de Fourier _____________________________________________ 1.2.3 Transformée de Fourier _______________________________________ 1.2.4 Propriétés de la transformée de Fourier ___________________________ 4 4 4 6 7 1.3. Notion de largeur de bande et l’énergie d’un signal _________________ 8 1.3.1 Largeur de bande d’un signal ___________________________________

.............................................................................................6 III ANALYSE FREQUENTIELLE ......................................................................................................7 III.1 TRANSFORMEE DE FOURIER: ..........................................................................................................7 III.2 APPLICATION AUX SIGNAUX PERIODIQUES: ....................................................................................7 Spectre discret

II. Séries de Fourier Principe: Écrire une fonction 2  ­ périodique comme une somme de cosinus et de sinus: f  t = Formules à connaître par cœur : a0 2 ∞  ∑ an cos  nt  +b n sin  nt  n= 1 1 a0= ∫ f t dt  0 2 1 an= ∫ f tcos nt dt  0 2 1 bn = ∫ f tsin  nt dt  0 2 Propriétés très utiles : • • • • Si f est paire, alors bn =0 ∀ n∈ℕ Si f est impaire, alors an=0 ∀ n∈ℕ cosn =−1n ,  sin  n=0 et  einx=−1n La série de Fourier d'une fonction est unique

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

considère la fonction f définie sur R , périodique de période 2,telle que : Pour la suite de l’exercice, on admet que : t sin(nπt ) dt = − 0 f (t ) = t f (t ) = 0 (a) Voir document réponse n°1. sur [0; 1[ sur[1; 2[ (b) On appelle S f la série de Fourier associée à la fonction f . +∞ On note S f (t ) = a0 + n=1 [an cos(nπt ) + b n sin(nπt )] a0 = an = 2 2 2 2 2 1 2 2 f (t ) dt = 0 1 2 1 t dt = 0 1 1 2 t2 2 1 = 0 1 4 f (t ) cos(nπt ) dt = 0 2 0

Canal de transmission 1.1.2 Pourquoi la transmission de signaux numériques ? Rappels 1.2.1 Energie et puissance : valeur moyenne et efficace 1.2.2 Le décibel (dB) Spectre d’un signal 1.3.1 Signal périodique : Série de Fourier 1.3.2 Signal quelconque : Transformée de Fourier Caractéristiques d’un canal de transmission numérique 1.4.1 Présentation 1.4.2 Débit et bande passante 1.4.3 Rapport signal / bruit 1.4.4 Taux de bit d’erreur 1.4.5 Transmissions synchrone et asynchrone Conclusions

Séries de Fourier 1-) E désigne la fonction partie entière. Sur I on définit la fonction partie fractionnaire par: ∀x∈I R, ∈ R, F(x) = x – E(x). a-) Montrer que F est 1-périodique et tracer sa représentation graphique. b-) Ecrire le développement en série de Fourier de F. c-) Etudier la convergence de la série de Fourier de F. 1 π2 d-) Montrer que: ∑ 2 = . n 6 n≥1 –––––––––––––––– a-) On sait que: ∀x∈IR, E(x + 1) = E(x) + 1. Par suite, ∀x∈IR, F(x+ 1) = x + 1 – E(x + 1) = x + 1 – E(x) – 1 = x – E(x)