Série de Taylor

Théorème de Taylor Aller à : Navigation, rechercher Pour les articles homonymes, voir Taylor. En analyse, le théorème de Taylor appelé aussi la formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 17151, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément

C et f : U → C. est développable en série entière au voisinage de chaque point de U . Théorème des zéros isolés : les zéros d'une fonction analytique f sur un domaine U sont isolés ou bien la fonction f est nulle. Théorème du prolongement analytique : deux fonctions analytiques qui coïncident sur un sous-ensemble non discret (suite convergente, segment, voisinage d'un point...) d'un domaine U sont égales sur U.  Toute série entière est analytique dans son disque de convergence

temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole11. Le terme de logarithme naturel apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en 1668, quand celui-ci met en place sa série de Mercator12. Sa série exploitée par Newton (Method of Fluxions and Infinite series, 1671), permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent13. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué. Le logarithme

rapport entre deux valeurs d'une grandeur. La base logarithmique choisie dépend des habitudes de la discipline qui les utilisent : le logarithme népérien, dont la base est e, facilite certains calculs et s'évalue plus directement grâce à la série de Taylor, mais ne permet pas d'accéder intuitivement à l'ordre de grandeur décimal. Le néper est le logarithme népérien du rapport entre deux puissances. logarithme décimal (base 10) donne directement une notion de l'ordre de grandeur, puisque la caractéristique

valeur en chaque point peut être donnée par la somme d’une série entière convergente. L’usage est de définir une fonction [pic] par une région [pic], appelée domaine de définition de [pic] et par une formule qui permet de déterminer les valeurs de [pic] lorsque la variable [pic] parcourt [pic]. Etant donné une fonction [pic] sur un domaine [pic] de (, Weierstrass considère le développement en série entière de [pic]. A partir de cette série, il étudie l’existence de séries entières qui la prolongent

pôles et zéros...............................................10 Transformation en Z inverse ....................................................12 Relation Intégrale...........................................................12 Developpement en série de Puissance................................13 Développement par division.............................................13 Formule du Jour : X(z) = Z{x(n)} = ∞ ∑ x(n) n=–∞ z –n La Transformée en Z. Séance 12 Formule du Jour

convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : n n 1. ∑+∞ n=1 (ln n) z √ n n 2. ∑+∞ n=1 ( n) z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n C2n n nn z (ln(n!))a n z n!b n a n 1+bn z , (a, b) n4 n z ∈ (R∗+ )2 Correction [005745] Exercice 2 Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée.

première f '(x) • Approximation de la dérivée seconde f '' (x) • Discrétisation d'une fonction f(x, y) • Approximations des dérivées partielles • Approximation de l'opérateur Laplacien 6 – Applications numériques A partir du développement en série de Taylor: f ( x 0 + ∆ x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) ∆ x + f ′ ′( x 0 ) ∆x 2 ∆x 3 + f ′ ′ ′( x 0 ) + ... 2! 3! on peut construire une approximation centrée de la dérivée première: f i ′( x) = f i +1 ( x) − f i −1 ( x) + 0( ∆x 2 ) 2 ∆x On construit de

fonction f au voisinage de a. f (z) = ∞ n=0 cn (z − a) + n ∞ n=1 dn . (z − a)n Trois cas se présentent alors : 1er Cas : Tous les dn sont nuls. f est donc analytique en z = a. Le développement de Laurent coïncide avec la série de Taylor au voisinage de a. 2ème Cas : Un nombre fini de dn n’est pas nul. Soit alors m le plus grand entier positif tel que dm 0. Alors (z−a)m f (z) est analytique au point a. On dira alors que a est une singularité d’ordre m, ou pôle d’ordre m ; (pôle

duration et LA convexité Le problème de la gestion de la variation des montants des avoirs et des engagements dans un contexte déterministe, en raison d'une variation dans les taux d'intérêt est formulé de la façon suivante. Étant donnée la série des flux monétaires correspondant à des engagements, (E1,E2,...,ET), et un portefeuille d'avoirs d'un montant C, une institution construit un portefeuille d'obligations sans risque de défaut de façon à ce que le risque de taux d'intérêt sur la valeur