Service Maximum

( et Sachant que sont indépendants 1) Déterminer la loi de sachant que et et  ; calculer 2) On suppose que et sont inconnues mais égales sachant que Exercice 7 Soit X une variable aléatoire représentant la durée d'attente dans un service hospitalier dans un hôpital A et admettant une densité de probabilité: si x>0 Où Ɵ est un paramètre inconnu. On prélève un échantillon de taille n. 1- Calculer l'espérance mathématique de X et sa variance. 2-Montrer que Ɵ

Qualités d’un estimateur : . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 4 Estimation ponctuelle 12 4.1 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Fonction de vraisemblance : . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Estimation de maximum de vraisemblance(EMV) : 13 5 Estimation par intervalle 17 5.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 Construction d’intervalle de confiance

Interprétation de résultat: Min 1st Qu Median Mean 3rd Qu. Max. 1.500 2.365 3.000 3.369 3.970 10.000 La boite à moustache nous indique six valeurs (minimum, 1er quartile, la moyenne, la médiane, le 3ieme quartile, le maximum) résumant les données de la variable Income.per.dependant du fichier credit.txt. Ici nous notons par ailleurs que nous observons des valeurs atypiques (aberrantes), qui rendent les résultats de l'estimation biaisés. Nous remarquons que la distribution

. 52 6.1 6.2 Modèle de mortalité ............................................................................................. 55 Applications numériques...................................................................................... 57 service....................................................................................................................................... 29 tel-00443010, version 1 - 26 Dec 2009 6.2.1 Tables prospectives .........................................

218 13 • Estimation ponctuelle 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Définition d’un estimateur Principales qualités d’un estimateur Estimateur sans biais de variance minimale Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao Méthode du maximum de vraisemblance (MV) Extension au cas de plusieurs paramètres 220 220 221 227 228 229 232 14 • Estimation par intervalle de confiance 14.1 Définition d’un intervalle de confiance 14.2 Exemples d’intervalles de confiance 14.3 Estimation et intervalle

* * * * * * * * * * * * x - L'estimateur du maximum de vraisemblance 2 2 (a, σµ , σv ) = (2π)−NT /2 |Ω|−1/2 exp − (y − X a) Ω−1 (y − X a) Ω = λw W + λb B 2 λw = σv |Ω| = λN (T −1) λN w b − 2 2 λ b = (T σ µ + σ v ) 1 2 Ω−1 = λ−1 W + λ−1 B w b ln (a , λ w , λ b ) 1 1 N (T − 1) ln λw − N ln λb − 2 2 1 1 (y − X a) W (y − X a) − (y − X a) B (y − X a) 2λ w 2λb Le système non linéaire vérié par l'estimateur du maximum de vraisemblance a MV = 1 λw MV X WX

nous le verrons ne pouvait conduire qu'à des estimations inconsistentes . En 1944 Haavelmo posait les conditions générales de solvabilité . Entre 1945 et 1950 Klein présentait ses premiers modèles dont la solution était obtenue par la méthode du maximum de vraisemblance . En 1949 Koopmans déterminait les conditions de solvabilité dans le cas d'un modèle linéaire . En 1954 Theil introduisait la méthode des doubles moindres carrés permettant des calculs effectifs . Toutefois la généralisation des modèles

____________________________________________________________ __________ Logiciel R /Modèle linéaire généralisé / BR5.doc / Page 8 Que signifie la déviance du modèle nul (Null deviance) ? Le modèle nul est caractérisé par aucun effet du facteur, donc p = constante. L’estimation au maximum de vraisemblance de la probabilité se fait par la fréquence. > sum(y1) [1] 52 > sum(y1)/100 [1] 0.52 La probabilité pour que l’espèce soit présente dans un relevé est 0.52. Quelle est la probabilité de l’observation dans ce modèle. On a observé

. . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 D´finition d’un estimateur . . . . . . . . . . e 3.2.2 La m´thode des moments . . . . . . . . . . e 3.2.2.1. L’estimateur des moments (EMM) . 3.2.2.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 La m´thode du maximum de vraisemblance e 13 13 14 14 14 16 16 17 18 23 23 27 27 27 28 28 29 30 30 31 31 35 35 35 36 36 36 37 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et d’int´grale et du calcul matriciel. Et l’accent est mis sur les noe e tions centrales en probabilit´s et statistique que sont la loi, l’ind´pendance, l’esp´rance, e e e la variance, la fonction caract´ristique, les convergences, l’estimateur du maximum de e vraisemblance, les intervalles de confiance et les tests d’hypoth`ses plutˆt que sur les fone o dements th´oriques de ces disciplines. e Des exercices sont ins´r´s au cœur des chapitres pour permettre aux ´tudiants de mettre ee e en application