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MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE Définitions : Soit X une variable aléatoire réelle, de loi ou bien discrète ou bien continue, dont on veut estimer un paramètre θ. On note cette famille de lois paramétriques. Alors on définit une fonction f telle que : fθ(x) représente la densité de X (où θ apparaît) et Pθ(X = x) représente une probabilité discrète (où θ apparaît). On appelle vraisemblance de θ au vu des observations (x1,...,xi,...,xn) d'un n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon

σt (θ)2 = E(rt |rt−1 ) − µt (θ)2 Consid´rant que les r´alisation aux diff´rentes dates sont conditionnelles ind´pendantes, e e e e on pourra utiliser une m´thode du (quasi) maximum de vraisemblance : e T L(θ) = t=1 1 2πht (θ) e− 2 (rt −µt (θ)) 1 2 /h t (θ) (2) En pratique, on recherchera le maximum du logarithme de la vraisemblance : θ∗ = argmin − log L(θ) consid´rant que µ − t ≈ 0, l’optimisation consiste donc a minimiser e log(ht ) + t=1,T 2 rt ht Cette estimation

Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Principes, méthode de moments 9.2. Moindres carrés ordinaires . . 9.3. Maximum de vraisemblance . . 2 7 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 13 14 17 17 20 22 25 27 28 31 35 35 37 37 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

le signe de l’effet de Xij . e Si θj > 0, Xij a un effet positif sur l’´v´nement consid´r´. e e e e Si θj < 0, Xij a un effet n´gatif sur l’´v´nement consid´r´. e e e e e II II.1 Analyse statistique Estimation par Maximum de Vraisemblance N On utilise la m´thode du maximum de vraisemblance pour estimer nos param`tres. La vraisemblance s’´crit : e e e L(θ) = i=n F (Xi θ)Yi (1 − F (Xi θ))1−Yi . et donc la log-vraisemblance vaut : N N log L(θ) = i=1 Yi log F (Xi θ) + i=1 (1

a les formes linéaires suivantes : Logit (p1) = natural log (odds) = ln (1) Logit (p1 + p2) = natural log (odds) = ln (2) Les paramètres sont estimés par la méthode maximum de vraisemblance afin de maximiser les chances de reproduction des données dans le temps. La valeur ainsi que le signe des paramètres estimes indiquent la relation existant entre la variable dépendante et les variables explicatives. Une telle relation

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 La r´gression lin´aire et ses probl`mes potentiels e e e 3.1.2 Notation vectorielle et matricielle . . . . . . . . 3.2 R´gression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . 3.2.2 Moindres carr´s (Least squares) . . . . . . . . . e 3.2.3 Erreurs de sp´cification . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.4 Choix du mod`le . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . .

Estimation ponctuelle 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Définition d’un estimateur Principales qualités d’un estimateur Estimateur sans biais de variance minimale Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao Méthode du maximum de vraisemblance (MV) Extension au cas de plusieurs paramètres 14 • Estimation par intervalle de confiance 14.1 Définition d’un intervalle de confiance 14.2 Exemples d’intervalles de confiance 14.3 Estimation et intervalle de confiance dans le cas

deviendrait si on vous demandait de prouver les variations de R de multiples façons. On peut alors répondre que pour obtenir le revenu maximum, le directeur doit faire subir 8 baisses (ouf! c’est un entier; qu’aurait-on fait si cela n’avait pas été le cas?), pour une place à 50−2,5×8=30€, et un nombre de spectateurs égal à 400+100×8=1200. Pour finir le revenu maximum est alors de 36000€. Exercice3 1. Dans la foulée de l’exercice précédent, on obtient les variations des fonctions f et g: 2 2 f( x)=x

Exponentielles 5. Modèle position-échelle 6. Exercices Partie 2. Estimation ponctuelle Chapitre 3. Statistique et Estimateur Chapitre 4. Construction d’estimateurs 1. Estimateurs empiriques (des moments) 2. Méthode de substitution 3. Méthode des moments 4. Maximum de vraisemblance 5. Exercices Chapitre 5. Qualité d’un estimateur 1. Estimateur convergent 2. Estimateur sans biais 3. Risque d’un estimateur 4. Information de Fisher 5. Borne de Cramer-Rao (ou Fréchet-Darmois-Cramer-Rao) 6. Exercices Chapitre 6.

sinistres. Montrons que cette suite suit une loi de pareto de parametre . Si X suit une loi de pareto de parametre  alors : P(X > x) = cx avec x > x0 Deux cas possibles : { x0 connu et le support de la loi est [x0;1] dans ce cas on le fait par maximum de vraisemblance { x0 inconnu et le support de la loi est [0;1] dans ce cas il faut choisir les plus grandes observations Nous devons dans un premier estimer . Nous savons que : P(X > x) = x Donc : P(log(X) > y) = ey On va donc estimer