Similitude

´ Recueil d’annales en Mathematiques ´ ´ Terminale S - Enseignement de specialite Similitudes Fr´d´ric Demoulin1 e e Derni`re r´vision : 5 janvier 2006 e e 1 frederic.demoulin@voila.fr Annales Terminale S Similitudes Tableau r´capitulatif des exercices e ⋆ indique que cette notion a ´t´ abord´e dans l’exercice ee e N ˚ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 Lieu Nouvelle-Cal´donie

EXERCICES - CORRIGES www.succes-assure.com SIMILITUDES DU PLAN Exercices EXERCICE 1 S est une application du plan dans lui-même d’écriture complexe z ' = 3iz − 1 − 7i 1 a) Déterminer les éléments caractéristiques de S. b) Déterminer une équation de l’image de la droite (BC) par S. z B = 2 et zC = 3 − i 2) Déterminer une équation du cercle C ' image par S du cercle C d’équation ( x − 2) 2 + y2 = 1 EXERCICE 2 Les points A, B, C et D ont pour affixes respectives 2 ; -2 -2 i ; et 2 i 1 a) Déterminer

mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP. 2. Une similitude directe Soit s la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P. a. Montrer qu’une écriture complexe de la similitude s est : [pic]. b. Déterminer le rapport, la valeur de l’angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude s. c. Vérifier que la similitude s transforme le point C en M. 3. Une similitude indirecte Soit s’ la similitude dont l’écriture complexe

évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP . 2. Une similitude directe Soit s la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P . a. Montrer qu’une écriture complexe de la similitude s est : 23 9 6 8 + i. z′ = − − i z + 5 5 5 5 b. Déterminer le rapport, la valeur de l’angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude s. c. Vérifier que la similitude s transforme le point C en M. 3. Une similitude indirecte Soit s ′ la similitude dont l’écriture

4ème année Section : Maths Sujet de révision n°1 Mai 2010 A. LAATAOUI Thèmes abordés : Complexes (Coniques) ; Arithmétiques ; Similitudes ; Fonction logarithme népérien et exponentielle Exercice n°1 : © r r Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v . ( ) 1. Résoudre dans £ l’équation z 2 + z + 1 = 0 . 2. Pour tout complexe z tel que z = eiq avec -p £ q £ p , q ¹ a) Vérifier que z 2 + z + 1 = z 1 + z + z . 2p 3 et q ¹ - 2p 3 , on pose z ' =

2 A C −4 + −4 Métropole, La Réunion 16 septembre 2010 + Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P. E XERCICE 4 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 1. 5 points a. On sait que l’écriture complexe d’une similitude directe est z ′ = az + b. s(O) = D ⇐⇒ 1 = 0 + b ⇐⇒ b = 1 ; 3 s(A) = E ⇐⇒ 1 + 3i = a × (−2) + 1 ⇐⇒ a = − i. 2 3 ′ L’écriture complexe de s est donc : z = − iz + 1. 2 b. Recherche de point invariant : 3 2 2(2 − 3i) 2 3 = = (2 − 3i). M = s(M) ⇐⇒ z

N et n "i3 2 , sia:=b [n] eta':=b' [n],alors *, a+a'=.b+b' aa' [n] [n] a-a'=.b-b' aP [n] =. bb' =. bP [n] B. Caracterisation complexe des similitudes - Similitude directe : z' = az + b , ou a E C * , bEe - Similitude indirecte : z' = az + b , ou a E C * , bEe Dans les deux cas, Ie rapport de la similitude est egal a I a I C. Ensemble de points Dans un repere orthonormal (0 ; ~J,k), une equation du cylindre d'axe (0; et de rayon (> 0 est x2 + y2 = (2 . Une equation

orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3 + 4i. π On note s la similitude directe s de centre A, de rapport 2 et d’angle . 4 Affirmation : la similitude directe réciproque s −1 a pour écriture complexe : z = −1 + 7i 1−i z+ . 2 2 5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a = 1 + 2i, b = 4 − i, c = 1 − 2 3 + i(3 + 3) et d = 4 + 3 + 4i 3. Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle π . 3 Page

proposition 3 et est de d´terminant −1 dans le cas e e e d’une sym´trie par rapport a une droite dans E de dimension 2. 2 e ` D´finition. — Soit B une base orthonorm´e de E. On dit que u est une similitude (plane) e e lorsque la matrice repr´sentative de u dans B est ρ.Sθ (similitude directe) ou ρ.Sθ (similitude e indirecte) , avec ρ > 0 et θ ∈ R/2πZ. Exercice 4. montrer que la d´finition ci-dessus est consistante, ie que si B est une autre bon e de E, la matrice de u dans B est du mˆme type que celle

3 1 Enfin zC = + i. 2 2 Soit C′ l’image de O dans similitude directe de centre A, de rapport π π 2 et d’angle − . 2 On a par définition : π zO′ − zA = 2e− 2 ((zO − zA ) = −i 2((zO − zA ). D’où : zO′ = zA − i 2((zO − zA ) = 2 − i − i 2(−2 + i) = 2 − i + 2 2i + 2 = 2 + 2 + i 2 2 − 1 . Cette affixe n’est pas celle de C. Affirmation FAUSSE. 4. On a ( f ◦ f )(z = (−1 + i)(−1 + i)z = (1 − 1 − 2i)z = −2iz = 2e− 2 . π On reconnait la similitude de centre >O, de rapport 2 et d’angle − π . 2 La droite