Somme des diviseurs

fabriquer 60 cônes et 60 prismes droits. Sur chaque fil, ils mettent 10 cônes et 8 prismes droits. Consigne 1 : notion de multiple et de diviseur 1) Déterminer le nombre de fil portant des cônes et le nombre de fil portant des prismes ? 2) Trouve tous les diviseurs de 60 3) Justifie par une égalité que 60 est un multiple de 10 ? 4) Quel est le plus grand diviseur de 60 ? 5) Peux- tu écris tous les multiples de 60 ? Consigne 2 : encadrement d’un nombre entier naturel par deux multiples consécutifs

b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres. Démontrer la relation suivante : N ≡ S (9). c. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9. 3. On suppose que A = 2 0052 005 ; on désigne par : – B la somme des chiffres de A ; Frédéric Demoulin Page 20 Annales Terminale S Arithmétique – C la somme des chiffres de B ; – D la somme des chiffres de C . a. Démontrer la relation suivante : A ≡ D (9). b.

Groupe 4 2007 |Mathématiques | Exercice 1 : 1) Les diviseurs de 6 sont : 1, 2, 3 (6 étant lui-même) Or 1+2+3= 6 donc 6 est nombre parfait. Les diviseurs de 496 sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 Or 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 donc 496 est un nombre parfait. 2) Les diviseurs de 120 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 60 Or 60+40+30+20 = 150 >120 donc 120 n’est pas un nombre parfait 3) A) - Pour n=1 on a 2n+1-1= 2²-1=3

précise, évidemment aussi conjecturale, du nombre de jumeaux (p, p + 2) avec p ≤ X . • Le problème de Goldbach. Tout nombre pair (supérieur à 4) est-il la somme de deux nombres premiers ? C’est un problème très voisin du précédent, les mêmes méthodes s’appliquent avec les mêmes résultats. Ce qui est frustrant c’est que le nombre de décompositions en somme de deux premiers devient très vite grand, mais on ne sait pas démontrer qu’il est non nul ! 5 Nombres Premiers, encore • Si on s’occupe maintenant

vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1. 60 a plus de diviseurs (positifs) que 100. 2. 60 a moins de diviseurs (positifs) que 90. 3. 60 a moins de diviseurs (positifs) que 120. 4. si un entier divise 60, alors il divise 120. 5. si un entier strictement inférieur à 60 divise 60, alors il divise 90. 6. si un nombre premier divise 120, alors il divise 60. Allez à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : On veut constituer la somme exacte de 59 euros seulement à l’aide de pièces de 2 euros

devoirs (nombres entiers) écrits dans cette branche. Définissez la méthode setMarks (avec 3 paramètres) permettant de donner des valeurs aux trois notes. Développez les méthodes getSum, getProduct, getAverage permettant de calculer • • • la somme, le produit, la moyenne arithmétique des trois notes. Notions requises: classe, objet, méthode, paramètre, type Exercice 5 : Figures géométriques Définissez les classes servant à représenter les figures géométriques suivantes: • • • •

non nul : d = pgcd  945 ; 882) = 63. ( 3. Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21, 63. Il n’y a pas d’autres solutions. Problème 2 1. b) L’ et ’ sont tels que : PGCD (L’ ; ’) = 1. 2. L = 12 L’ ;  = 12’ ;  2 L = 77 760. Soit 144 ’ 2 × 12 L’ = 77 760  et  ’ 2 L’ = 45 = 32 × 5. D’où ’ = 1 ou ’ = 3 ; donc L’ = 45 ou L’ = 5. Les couples (l ; L) sont : (12 ; 540) ou (36 ; 60). Application (page 44) 1  1. Tout diviseur d de a et b divise toute combinaison linéaire de a

simples 1 Exemple d’écriture d’une fonction Écrire une fonction qui calcule la somme des n premiers nombres – à l’aide d’une boucle for ; – en utilisant la récursivité ; – en utilisant une formule. Exemple de solution : /* int somme_nombres_iteratif(int n) * calcule la somme des n premiers nombres * Principe : accumulation dans une variable int des n premiers nombres * arguments : n entier positif * retour : somme des n premiers entiers si n>0 0 si n est négatif ou nul * JCG écrit le 22/03/2001

1.1 On se place sur un corps commutatif k. Un polynˆme est e o d´fini par la donn´e de ses coefficients a0 , , ..., an ´l´ments de k. X ´tant e e ee e une lettre muette, on note P (X) = a0 + a1 X + ...an X n ou ak X k , ´tant e k≥0 entendu que la somme ne comporte qu’un nombre fini de ak non nuls. On distingue parfois le polynˆme P (X) (qui, par construction, est nul si et o seulement si tous ses coefficients sont nuls (*)) de la fonction polynˆmiale o associ´e: e P : k −→ k x −→ a0 + a1 x + ...an xn

l’incommensurabilité de la diagonale du carré (2) -         Cette découverte est attribuée à Hippase de Métaponte     Il divulgue sa découverte     Et, péri dans un naufrage | Nombres parfaits Nombres amicaux |      Somme des diviseurs redonne le nombre      Somme des diviseurs de l'un donne l'autre | Théorème de PythagoreTriplets de Pythagore |      Connu bien avant lui par les Babyloniens      Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle (triangle isiaque)et en général pour un triangle rectangle:c²