Sous-espace stable

Cours Algébre Linéaire : Espaces Vectoriels réels Matrices Applications Linéaires Systèmes Linéaires Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Première Année Babacar M. NDIAYE. Année 2010-2011. LMDAN, babacarm.ndiaye@ucad.edu.sn http ://lmdan.ucad.sn Notes Ces notes de cours correspondent à un enseignement de première année de la FASEG. Ceci ne constitue qu’une première version et les chapitres manquants seront complétées au fur et à mesure qu’on avancera

. e 6.1.2 Formes n-lin´aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2 D´terminant d’une famille de vecteurs dans une base donn´e. e e 6.2.1 G´n´ralit´s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 6.2.2 Orientation d’un R-espace vectoriel de dimension finie. 6.3 D´terminant d’un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.4 D´terminant d’une matrice carr´e d’ordre n. . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

; – codes barres ; – disque compact et DVD ; – communications par internet. 1 Codes et distance de Hamming Les messages transmis sont suppos´es d´ecoup´es en blocs (ou mots) de longueur n ´ecrits avec l’alphabet {0, 1}. Un code (binaire) est un sous-ensemble C de l’ensemble {0, 1}n de tous les mots possibles. On dit que n est la longueur de C. La distance de Hamming entre deux mots x = (x1 , ..., xn ) et y = (y1 , ..., yn ), que l’on notera d(x, y), est le nombre d’indices i tels que xi = yi

Chapitre 5 Algebre lineaire, enonces Lorsque la dimension est in nie, on admettra que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel possede des supplementaires et que tout espace vectoriel possededes bases. K designe toujours un corps commutatif. 1. Soit E un K -espace vectoriel. Soit F un sous-espace vectoriel de E . On de ni sur E la relation R suivante : (x R y) () (x ? y 2 F ). (a) Veri er que R est une relation d'equivalence. On note E 0 = E /F l'ensemble des classes d'equivalence pour cette

Pour montrer qu’une partie est un s.e.v, il est souvent plus efficace de l’écrire comme s.e.v engendré que de revenir à la définition d’un s.e.v. Espaces vectoriels Définition 1 (Espaces vectoriels) Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne E × E −→ E (x, y) −→ x + y et d’une loi externe K × E −→ E (λ, x) −→ λ.x. (E, +, .) est un K-espace vectoriel si et seulement si 1. ∀x, y, z ∈ E, (x + y) + z = x + (y + z) (associativité) 2. ∀x, y ∈ E, x y = y + x (commutativité) 3. la loi possède

Preparation a l’Agregation Interne 13 D´cembre 2008 e 1 Quelques exercices sur la dualit´ e Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux points distincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires f1 : P → P (a), f2 : P → P (a), f3 : P → P (b)

` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace p . Exemples de parties compactes de 2 ´ Enonc´ e Dual topologique d’un espace compactes de 2 p . Exemples de parties Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) . e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des

⎦ b)Supposons α 0 Id + α1 f + Kα n −1 f n −1 = 0 . n −1 Alors α 0 x0 + α 1 f ( x0 ) + K + α n −1 f ( x0 ) = 0 et les α i (0 ≤ i ≤ n − 1) sont nuls. La famille Soit Q = q0 + q1 X + K + qk X k (Id , f ,K, f ) est libre ainsi que toute sous famille de cette famille. n −1 k avec Qk ≠ 0 vérifiant Q ( f ) = 0 , les k + 1 endomorphismes Id , f ,K, f sont liés et k ≥ n . c) Q ( f )( x0 ) = f ( x0 ) − pn −1 f n n −1 K P ( f ) f ( x0 ) = f k ( ) k (P( f )( x0 ) )

et forces ` travailler encore plus. a Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Alg`bre lin´aire (r´vision programme sup) e e e Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale d´pendant d’un param`tre e e e S´ries de Fourier

CAPES de Mathématiques Résumé de cours d’algèbre linéaire 2001/2002 Université de Cergy Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Espaces vectoriels - Applications linéaires Définition √ Soit K un sous-corps de C (Par exemple Q, R, mais aussi Q( 2)). On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une loi interne notée + et d’une loi externe notée . avec les propriétés suivantes : 1. (E, +) est un groupe abélien 2. La loi externe . vérifie (a) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E (b) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K