Sous-espace vectoriel engendré

4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le

47 4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit

c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI Espaces vectoriels et applications linéaires Dans ce chapitre, K est l’un des corps R ou C. Tous les résultats présentés sont en réalité vrais pour un corps K quelconque — à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries. La notion d’espace vectoriel introduite dans ce chapitre est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après les groupes, les anneaux et les corps. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir

Programme de Mathématiques Lycée Marceau 4. Équations différentielles A) Équations linéaires du premier ordre 1 - Définition et exemples, définition d’une solution sur un intervalle. 2 Résolution de l’équation homogène : structure (d’espace vectoriel) de l’ensemble des solutions, expression intégrale des solutions, sur un intervalle. Une solution non identiquement nulle ne s’annule pas, présentation usuelle des calculs. Unicité d’une solution satisfaisant à une condition initiale donnée. 3 -

Déterminer à quelle condition sur le réel λ on a une décomposition en somme directe R 3 = Fλ ⊕ Rvλ. Pour tout réel λ, le vecteur vλ est non nul, il engendre un sous-espace vectoriel de dimension 1 de R 3 ; son orthogonal Fλ pour la forme quadratique non-dégénérée q est donc 3 − 1 = 2. Comme Fλ et Rvλ sont deux sous-espaces vectoriels de R 3 de dimensions respectives 2 et 1, on a R 3 = Fλ ⊕ Rvλ si et seulement si Fλ ∩ Rvλ = {0}, c’est-à-dire si vλ 6∈ Fλ, c’est-à-dire si vλ n’est pas orthogonal

linéaires : règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l'espace 4.1 Dénitions et règles de calcul 4.1.1 4.1.2 4.2 4.3 4.4 4.5 4.2.1 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systèmes de coordonnées Propriétés du calcul vectoriel 49 49 50 52 52 54 55 58 59 61 61 Le produit scalaire . . . . . . .

17 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On utilise les mêmes notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier

K[X]. Imϕ = K[u] est une sous algèbre de (E). Si dim E est fini alors u admet un polynôme minimal. Table des matières 1 2 Sous espaces stables par un endomorphisme Polynôme d'endomorphisme ou de matrice 1 1 2.1 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres 1 1 1 Proposition 5 : E un K-ev, u ∈ (E) admettant un pomi πu , si F est un sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F

‫ط‬ ‫ا‬ ‫ما‬ ‫وا‬ ‫اا‬ ‫ا‬ ‫آ‬ Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre Module Matière : : : S4 M 16 (Méthodes Quantitatives IV) Algèbre II CHAPIITRE 2 : PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITE CHAP TRE 2 : I- Produit scalaire dans et Espace euclidien ........................................................... 2 I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2 I-2

2 ALGEBRE Exercice 2-1 Soit n un entier naturel, n 2. On note E = Rn X ], l'espace vectoriel des fonctions polyn^mes a coe cients reels, de degre inferieur ou egal a n. o Soit a0 a1 : : : an , (n+1) reels distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E . Solution : On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite