Sous-groupe

SOUS-GROUPES DE (, +) On note (, +) l'ensemble  des entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : · une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x

Espaces Vectoriels, Base et Dimension Exercice 1 D´terminer lesquels des ensembles E1 , E2 , E3 et E4 sont des sous-espaces vectoriels e 3 de R . E1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = x + y + z = 0}. E2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = 0}. E3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 1}. E4 = {(x, y, z) ∈ R3 ; z(x2 + y 2 ) = 0}. Exercice 2 Parmi les ensembles suivants reconnaˆ ceux qui sont des sous-espaces vectoriels. ıtre E1 = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + a = 0, et x + 3az = 0 E2 = {f ∈ F(R, R); f (1) = 0} ,

Mathématiques en MPSI 1 x+y . 1 + xy 1) Montrer que ⊕ est une loi interne sur ] − 1, 1[. 2) Montrer que ] − 1, 1[, ⊕ est un groupe commutatif. On pose, pour tous x, y ∈ ] − 1, 1[ : a) Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait d = a ∧ b. b) Montrer que aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ ∩ bZ = mZ pour un certain m ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait m = a ∨ b. x⊕y = ————————————–

cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Enoncés 1 Morphisme de groupes Exercice 1 [ 02218 ] [correction] Soit n ∈ N et f : R → R définie par f (x) = xn . Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] Justifier que exp : C → C est un morphisme du groupe (C, +) vers (C , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 3 [ 02220 ] [correction] Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application de G vers

que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à Sn . c) Vérifier que t (P (σ)) = P (σ −1 ) Exercice 38 [ 01268 ] [correction] Soit E l’ensemble des matrices de M2 (K) de la forme A= Exercice 35 [ 01264 ] [correction] Montrer que Sn (R) et An (R) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn (R). 1 i,j n a+b −b b a−b avec (a, b) ∈ K 2 a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M2 (K), en donner une base. b) Montrer que E est un sous-anneau commutatif de M2 (K).

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn (R). Structures formées de matrices Exercice 24 Soit [correction]   a  E = M (a, b, c) =  c  b   b c  a b  /(a, b, c) ∈ R3  c a Montrer que E est une sous-algèbre commutative de M3 (R) dont on déterminera la dimension. ∈ Mn (R) appelée matrice de permutation associée à σ. a) Montrer que ∀(σ, σ ) ∈ S2 , P (σ ◦ σ ) = P (σ)P (σ ) n b) En déduire que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe de GLn (R)

Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note

18 Janvier 1. N 2. 3. - Récurrence : Voir semaines précédentes Dénombrement : Voir semaines précédentes : Voir semaines Exemples de calcul de sommes avec des coefficients binômiaux précédentes 4. 5. Lois dans un ensemble - Groupes : Voir semaines précédentes Anneaux-Corps commutatifs :Voir semaines précédentes : 6. Q -R Voir semaine K13 Acknowledgement PAS d’exercices sur les paragraphes 8 et 9 7. Vocabulaire général sur les suites : monotonie , opérations

LES GROUPES, ANNEAUX ET CORPS 1. Groupes D´finition 1 (Groupe). Un groupe (G, ⋆, e) est un ensemble G muni d’une loi de composition e • la loi ⋆ est associative, i.e. (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z), pour tout x, y, z ∈ G, • il existe un ´l´ment neutre e, i.e. x ⋆ e = e ⋆ x = x, pour tout x ∈ G, ee • tout ´l´ment a un inverse, i.e. pour tout x ∈ G il existe y ∈ G tel que x ⋆ y = y ⋆ x = e ee Lorsque la loi ⋆ est commutative, on parle de groupe commutatif ou de groupe ab´lien. e D´finition 2 (Sous-groupe)

un ensemble muni de deux lois de composition interne notées + et ×, telles que (A, +) soit un groupe abélien, et telle que × soit associative et distributive sur +. En revanche, il n’existe pas nécessairement d’élément neutre pour la loi ×. • Un anneau est donc un pseudo-anneau admettant un élément neutre 1A pour la loi ×. • Une partie I de A est appelée idéal bilatère de A si I est un sous-groupe additif de (A, +), et si pour tout x ∈ I et y ∈ A, xy ∈ I et yx ∈ I. • Le centre C(A) d’un pseudo-anneau