Sous-suite

intervalle de N (du type [pic] ou [pic]) non vide. Une suite d’éléments de E indexée par K est une application [pic]. L’ensemble des suites d’éléments de E indexées par K est noté [pic] (c’est aussi [pic]) Dans le cas où [pic], on parle de suites à valeurs réelles, ou suites réelles. Si [pic], on parle alors de suites complexes. Pour [pic], l’ensemble des valeurs de la suite est [pic]. On dit qu’une suite est infinie si elle est indexée par un ensemble infini. [pic]

Exo7 Suites 1 Convergence Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication Correction Vidéo [000506] Exercice 2 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang. Indication Correction Vidéo [000519] Exercice 3 Montrer que la suite (un )n∈N définie par un = (−1)n + n’est pas convergente. Indication Correction Vidéo [000507] 1 n Exercice 4 Soit (un )n∈N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un

Suites numériques Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2007/2008 Table des matières 1 Notion de suite numérique 2 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Modes de génération d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sens de variation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Suites arithmétiques 4 2.1 Définition

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2010 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l’épreuve : 4 heures) Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants. Sujet n° 1 «Le passé, c'est le trésor des vieux.» a écrit Benjamin Matip, écrivain camerounais, dans Afrique, nous t'ignorons. Qu'a voulu dire

on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an . ® Remarques • Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme

20/12/13 15:56 L’ESSENTIEL DU COURS SUITE • Une suite est une fonction définie sur l’ensemble ℕ ou sur une partie de ℕ. • L’image du naturel n par la suite u se note u(n) ou plus souvent un. TERME GÉNÉRAL L’image d’un entier naturel n par la suite u se note un et s’appelle le terme général de la suite ou terme de rang n. SUITE CROISSANTE Soit u une suite : • la suite u est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un ⩽ un+1 ; • la suite  u est strictement croissante si et seulement

3- a) Soit (un )n≥1 une suite numérique qui converge vers L. Montrer qu’il en est de même de la suite définie pour n ≥ 1 par : vn = n u1 + u2 + . . . + un . n n b) On pose : σn (x) = sin(kx) 1 et Σn (x) = σk (x). k n k=1 k=1 ′ σn (x) désignant la dérivée de σn (x), montrer que la différence : sin ′ σn (x) − (2n + 1)x 2 x 2 sin 2 est une constante que l’on précisera. n . x 2 ′ ′ d) En déduire une expression simple de la dérivée Σn (x). Montrer que la suite de fonctions Σn (x) converge

l'Int¶egrale de Lebesgue, en particulier l'utilisation des Th¶eorµemes fondamentaux suivant : Les Th¶eorµemes de convergence domin¶ee et de convergence monotone, les Th¶eorµemes de Fubini-Tonelli et de Fubini. Cet objectif ne doit pas ^etre abandonn¶e sous pr¶etexte de di±cult¶es passagµeres µa com- prendre le cours. En fait la th¶eorie est di±cile mais l'usage de l'int¶egrale de Lebesgue (1906) est relativement facile. Pour l'int¶egrale de Riemann par contre, les th¶eorµemes d'ap- plication n¶ecessitent

les suites LMD 1`re ann´e, Unit´s LM115 et LM 151, e e e ann´e 2005-06 e Henri Skoda Plan du cours sur les suites. 0) Axiomes de d´finition de IR. e 1) D´finition d’une suite. e 2) D´finition de la convergence d’une suite. e 3) Propri´t´s ´l´mentaires: unicit´ de la limite,.... e e ee e 4) Th´or`me des ”gendarmes”. e e 5) Toute suite convergente est born´e. e 6) Suites monotones born´es. e 7) Exemple des suites r´currentes: un+1 = f (un ), o` f est croissante. e u 8) Limites infinies. 9) Op´rations sur

raison de la suite. • Pour tout n : Un+1 = b ·Un ; Un = bn ·U0 ; Un = bn−p ·U p Un+1 • Si pour tout n, Un = constante alors (Un ) est une suite géométrique de raison égale à la constante. 1 − bn−p+1 1 − bnb de termes • U p +U p+1 + · · · +Un = U p × = 1er terme × (pour b = 1) 1−b 1−b • Pour étudier le sens de variation, on calcule Un+1 −Un et on factorise. (remarque : si b < 0 la suite est ni croissante, ni décroissante - il est donc inutile de faire le calcul) Exemple : Soit (Un ) la suite géométrique