Stefan Banach

dt = 0 2 ≤ 2. (α + 1)3 Le th´or`me de la moyenne nous donne donc que e e ϕ (β) − ϕ (α) ≤ 2|β − α|. Exercice 5 Montrer que pour k ∈ N, l’application L(E) → L(E), u → uk est C 1 et calculer sa diff´rentielle. e Montrer que si E est un espace de Banach, alors l’application L(E)× → L(E), u → u−1 est C 1 et calculer sa diff´rentielle. e 5 Dans le premier cas, il suffit de remarquer que notre application est la compos´e de l’application diagonale qui est lin´aire continue et de la multiplication

Baire? Patience, j’y reviendrai. 2 Le lemme de Baire Je ne fais ici que rappeler le lemme de Baire et sa d´monstration la plus classique. e Ceux qui connaissent d´j` ceci peuvent se rendre au paragraphe suivant. ea Lemme 1 Soit E un espace de Banach, (On )n∈N une famille d´nombrable e d’ouverts denses de E. Alors ∩i∈N On est dense dans E. Dmonstration Il suffit de montrer que pour tout ouvert O de E, O (∩i∈N On ) n’est pas vide. Soit donc O un ouvert de E. O1 ´tant dense dans E, O ∩O1 n’est pas

initial équivalent à celui du L3. Illustrons par quelques exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner

Les suites num´riques e Suites de Cauchy ; Applications Jean-Luc EVENO 3 septembre 2005 Le crit`re de Cauchy a une tr`s grande importance en analyse, mais essentiellement dans les questions e e th´oriques. Comme nous en aurons besoin dans quelques d´monstrations, nous vous le pr´sentons donc. e e e 1 1.1 Premi`res d´finitions, premi`res propri´t´s e e e e e D´finition e Nε et si p Nε , Une suite (un )n∈N est dite de cauchy, si Pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre Nε ∈ N tel que

d’une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . 7.1.2 Fonctions d’un espace de dimension finie à valeurs réelles 7.1.3 Fonctions d’un espace de Banach à valeurs réelles . . . . 7.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Fonctions d’un espace de dimension finie à valeurs réelles 7.2.2 Fonctions d’un espace de Banach à valeurs réelles . . . . 7.3 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chapitre 1 Notion de topologie dans Rn

e 2.4 Compacit´ dans les espaces m´triques e e 2.5 Compl´tude . . . . . . . . . . . . . . . e 3 Espaces vectoriels norm´s e 3.1 D´finitions . . . . . . . . . . e 3.2 Applications lin´aires . . . . e 3.3 Sous-espaces vectoriels . . . 3.4 Espaces de Banach . . . . . 3.5 Le cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

appartenant à [0, 2n ] ; alors fn 0, σ(L1 , L∞ ), c'est-à-dire que 1 f (x)g(x)dx → 0, ∀g ∈ L∞ . Prendre d'abord g étagée sur les dia0 n diques { 2kn , n ∈ N , k entier ∈ [0, 2n ]}. Ce dernier est dense dans [0, 1].) Exercice 4 Soient E un espace de Banach et (fn )n , f une suite d'éléments de E . Montrer les propriétés suivantes : 1) fn f pour σ(E , E) ⇐⇒ fn , x → f, x , ∀x ∈ E. 2) Si fn → f fortement alors fn f pour σ(E , E ). Si fn f pour σ(E , E ) alors fn f pour σ(E , E). 3) Si fn f pour σ(E ,

a. Théorème des fonctions implicites 3 Le théorème des fonctions implicites exprime qu’une courbe dé…nie implicitement par une équation du type f (x; y) = 0 peut être vue localement comme le graphe d’une fonction. Soient E, F, G des espaces de Banach, de classe C 1 . f9(x0 ; y0 ) 2 un ouvert de E F et f : ! G une application tel que f (x0 ; y0 ) = 0 et dy f (x0 ; y0 ) 2 Isom(F; G): ) De plus, 8x 2 U; d'(x) = (dy f (x; '(x))) 1 9U voisinage ouvert de x0 ,V vo ((x; y) 2 U dx f (x; '(x)):

- En quoi M.B replonge-t-il peu à peu dans la folie ? Ce texte extrait de la nouvelle 'Le joueur d'échec', est écrite par Stefan ZWEIG et est publiée en 1943, juste avant son décès. On retrouve ainsi, le protagoniste M.B qui lui a appris à jouer aux échecs pendant sa détention, Czentovic champion du monde d'échecs, et le narrateur qui est intradiégétique et interne. Les deux joueurs sont sur le point de recommencer une partie suite à la défaite de Czentovic. Suite à des antécédents psychologiques

Stefan Zweig ~ Le joueur d’échecs 1) L’ouvrage et l’auteur. Le titre de ce livre est « Le joueur d’échecs » de Stefan ZWEIG. 2) Le type de l’ouvrage. Ce livre est un roman de vie, qui raconte, comment un homme a appris à jouer aux échecs pendant son arrestation par les nazis. Il est écrit à la troisième personne du singulier avec un narrateur interne 3) L’auteur. Stefan ZWEIG est l’auteur de ce roman. Il a vécu au XXème siècle, est né en Autriche en 1881 et s’est donné la mort au