Suite de Cauchy

autres branches des mathématiques. Parmi les mathématiciens qui contribuent à ce développement, on peut citer Augustin Cauchy qui, en s’attachant, entre autres, à définir les fonctions d’une variable complexe, ouvre le domaine de l’analyse mathématique moderne. II- Construction de l’ensemble des nombres réels Le critère de convergence d'une suite énoncé par Augustin Louis Cauchy, comme le théorème des valeurs intermédiaires « prouvé » par Bolzano firent vite partie de la panoplie de travail de

Convergence d’une suite réelle Définition Une suite (un )n∈N de réels est convergente si et seulement s’il existe un réel l vérifiant ∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N ∀ n Nε |un − l | ε Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R • La suite (un + αvn )n∈N

une suite de nombres réels, on pose : n Sn = u0 + u 1 + . . . + u n = uk . k=0 La limite de Sn est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn

correction. Question de cours (6 points) 1. Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass. 2. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires 3. Enoncer le théorème des accroissements finis Correction de la question de cours 1. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. 2. Soit un intervalle de . Pour tout , avec , pour tout entre et (c’est-à] si ] si [ ] tel que dire dans [ ou dans [ ), il existe . ] ] et dérivable sur 3. Soit une fonction [ , avec . On suppose que est continue

1 . Montrer que l’on d´finit une norme | · | sur E par la formule : e ∗ ∗ ∗ ∀ x ∈ E , | x | = Sup |x (x)| . x∈B [ I ] [ S ] 2) Dans toute la suite on consid´rera l’espace norm´ (E , | · |) qui sera simplement not´ E e e e et appel´ dual topologique de E . e a) Soit (x∗ )n∈N une suite de Cauchy de E . Montrer que pour chaque x fix´ dans E , la e n ∗ suite xn (x) n∈N est convergente dans C . On associe ainsi, ` chaque x ∈ E , un unique a complexe lim x∗ (x) que l’on note x∗ (x) . n n→+∞ b) Montrer

CCP MP I - ann´e 2000 e I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ;

convergente. 6. On a (−1)n + n ∼+∞ n et n2 + 1 ∼+∞ n2 , et donc (−1)n + n 1 ∼+∞ . 2+1 n n Par comparaison à une série de Riemann, la série n un x2 2 , 1 , n on voit est divergente. 7. Par croissance comparée des suites géométriques et la suite factorielle, le terme général ne tend pas vers 0, sauf si a = 0. La série n un est donc convergente si et seulement si a = 0. 8. On écrit tout sous forme exponentielle : ne− On a alors √ n = exp(ln n − √ n). √ √ exp(ln n − n) = exp(3 ln

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le n terme général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée l’ensemble ; an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche     x∈R: ∆=   ∞ n=0     . an xn converge   C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons