Suite de Cauchy

variables séparables Équations exactes Facteurs intégrants Équations "homogènes" 3 M A - S N Équations d’ordre 2 EDO non linéaire d’ordre 2 EDO linéaire d’ordre 2 EDO linéaire d’ordre 2 homogènes EDO linéaire d’ordre 2 non homogène Équations d’Euler-Cauchy E : T 4 S A C 2 A F A EDO linéaire d’ordre n R Anas RACHID (ENSAM-Casablanca) MTH3210:Équations différentielles Février 2015 2 / 42 5 1 0 Définitions Qu’est-ce qu’un système d’équation différentielles ordinaires M A S A C 2 A -

, j , k ) l'est dans l'espace : → Repère du plan direct P → k i O → j P → → O j Repère du plan indirect i → k Les bases de l'espace ou des plans s'orientent de la même façon que les repères. Dans toute la suite du chapitre, les bases ou repères considérés seront orthonormaux. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormale de l'espace. Soient u (x ; y ; z) et v ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) deux vecteurs

. . . . . . e a 2.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.2 Condition n´cessaire et suffisante de convergence . . . . e 2.2.3 Crit`res de convergence pour les s´ries ` termes positifs e e a 2.2.4 Crit`re de Cauchy pour les s´ries ` termes positifs . . . e e a 2.2.5 Crit`re de d’Alembert pour les s´ries ` termes positifs . e e a 2.2.6 Crit`re int´gral pour les s´ries ` termes positifs . . . . e e e a 2.2.7 Applications : s´rie de Riemann et s´rie

est représenté par : ([pic]) représentant la distribution des défauts ([pic]) représentant la variation de la taille moyenne de la surface d’endommagement ([pic]) représentant la translation du centre de surface d’endommagement. Dans toute la suite de ce présent travail nous nous limiterons aux hypothèses ci après : - Théorie à surface unique pour décrire l’écoulement plastique endommageable ([pic]) - Formulation isotherme a endommagement isotrope représenté par le couple scalaire ([pic])

Les débuts de l'intégrale définie Tout d’abord, c’est Augustin Louis Cauchy qui a découvert comment trouver l’aire de n’importe qu’elle courbe, soit par des sommes de rectangles. Par la suite, dans les années 1850, Bernhard Reimann a repris les sommes, les a amélioré, et leurs a donné son nom, d’où vient les Sommes de Reimann. Ensuite, Gaston Darboux traduit les travaux de Reimann, et amène des améliorations : les sommes inférieures et les sommes supérieures. Rrésumé de la technique de

Philippe Pétain http://www.marechal-petain.com Philippe Pétain est né le 24 avril 1856 à Cauchy-à-la-Tour. Chef militaire à l'action décisive au cours de la Première Guerre mondiale, Pétain est généralement présenté comme le « vainqueur de Verdun». Il demeure commandant en chef des forces françaises jusqu'à la fin de la guerre où il est fait maréchal de France (novembre 1918) Pétain devient académicien en 1929 et occupe les fonctions de Ministre de la Guerre en 1934 puis d'ambassadeur en

1. Soit {un } une suite de nombres r´eels. On lui associe la suite des sommes partielles {Sn }, n = 1, 2, · · · , soit n uk = u1 + u2 + · · · + un . S1 = u1 , S2 = u1 + u2 , · · · , Sn = k=1 On appelle s´erie num´erique de terme g´en´eral un , le couple ({un }, {Sn }) form´e de la suite {un } et de la suite de ses sommes partielles {Sn }. Par commodit´e on d´esignera la s´erie de terme g´en´eral un par le symbole somme ∞ ∞ un . un ou dans certains cas n=0 n=1 Si la suite {Sn } poss´ede une

Montrer que f est la fonction nulle. (Raisonner par l’absurde : supposer que f (c) = 0 pour un certain r´el c, et montrer que le crit`re de Cauchy est alors contredit). e e 10. ∞ a Soit f une fonction uniform´ment continue de [ a, ∞ [ dans R, telle que l’int´grale e e x→∞ f (x) dx converge. Montrer que lim f (x) = 0 (montrer que sinon le crit`re de Cauchy see rait contredit). 11. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R telle que, quand x tend vers ±∞, on ait 1 . f ′ (x) = O x2 a) D´montrer

Montrer que f est la fonction nulle. (Raisonner par l’absurde : supposer que f (c) = 0 pour un certain r´el c, et montrer que le crit`re de Cauchy est alors contredit). e e 10. ∞ Soit f une fonction uniform´ment continue de [ a, ∞ [ dans R, telle que l’int´grale e e f (x) dx converge. Montrer que lim f (x) = 0 (montrer que sinon le crit`re de Cauchy see x→∞ a rait contredit). 11. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R telle que, quand x tend vers ±∞, on ait 1 . f (x) =

TD O1 : Lois de l’optique géométrique PCSI TD O1 : Lois de l’optique géométrique Exercice 1: Loi de Cauchy La loi de Cauchy permet de décrire la manière dont l’indice optique n d’un milieu trans- parent varie selon la longueur d’onde : n(∏) = A+ B ∏2 où A et B sont des constantes caractéristiques du matériau. 1. Déterminer la dimension et l’unité légale SI de A et B . On étudie un verre flint où on a pu mesurer que pour une lumière rouge de longueur d’onde ∏r = 768nm, l’indice du verre est nr = 1