Suite de Cauchy

Fonctions développables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III.2 Développements en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I Rayon de convergence I.1 Série entière I.1.1 Définition Soit (an)n∈N ∈ CN une suite. Un série entière est une série de la forme ∑ n∈N anzn où z ∈ C. Pour chaque z ∈ C on étudie la convergence de la série numérique ∑ n∈N anzn. L’en- semble des z ∈ C pour lesquels la série entière converge est appelé domaine de conver- gence. I.1.2

Ces notes de cours sont une introduction ` l’analyse complexe, avec cent quatre-vingt-onze e e a exercices et vingt-cinq figures. On y ´tablit, pour les fonctions d’une variable complexe, l’´quivalence e e entre holomorphie et analyticit´ (Cauchy, Morera). On y discute de la question du logarithme et plus e g´n´ralement des primitives, des pˆles et autres singularit´s. Pour ce faire, on y int`gre les fonctions e e o e e sur les chemins, ce qui am`ne le th´or`me des r´sidus et ses applications

d’Euclide Soient donc deux entiers strictement positifs k < n: n = kq0 + r0 , r0 < k k = r0 q 1 + r1 , r1 < r0 r0 = r1 q2 + r2 , .. . r2 < r1 rm−2 = rm−1 qm + rm , rm−1 = rm qm+1 + rm+1 , rm < rm−1 0 = rm+1 < rm où la suite (n, k , r0 , r1 , ..., rm , rm+1 ) est strictement décroissante et arrive à zéro avec rm+1 = 0. Le pgcd est rm et on a u et v tels que un + vk = pgcd (n, k ) Identité de Bezout Matrices uni-modulaires: matrices à coefficients entiers et dont l’inverse

2 Suites arithm´tiques, g´om´triques e e e g´om´triques . . . . . . . . . . . . . e e 2.2 Th´or`mes d’existence de limite . . . . . . . e e 2.2.1 suites monotones . . . . . . . . . . . 2.2.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . 2.2.3 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . 2.2.4 Encadrements . . . . . . . . . . . . . 2.3 R`gles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4 Sous-suites et valeurs d’adh´rence . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

considère que seules l'analyse et la connaissance des faits réels vérifiés par l'expérience peuvent expliquer les phénomènes du monde sensible. Des progrès apparaissent : -En médecine (Auguste Conte, Claude Bernard) En mathématique (travaux de Cauchy, Riemann) En physique (unification de l’électricité et du magnétisme qui débouche sur l’électromagnétisme (Maxwell) Thermodynamique (Carnot) Chimie (Mendeleïev) Radioactivité (Pierre et Marie Curie) Biologie (Claude Bernard) Le naturalisme découle

est n est divergente. Observer que, lorsque = 1 , on ne peut rien Exercice 5 Soit (un ) une suite décroissante de réels positifs. On suppose que la série Montrer que nun → 0 . ∑u n ≥0 n converge. Exercice 6 Soit (un ) une suite de réels positifs et vn = nature. un . Montrer que 1 + un ∑u n et ∑v n sont de même Exercice 7 Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. u a) Pour tout n ∈ » , on pose vn = n . Montrer que ∑ un et ∑ vn sont de

gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. EQUATIONS DIFFERENTIELLES (DEUXIEME ANNEE) PLAN I : Généralités 1) Equation différentielle du premier ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations

technicit´ gratuite est ` ´viter. e e ae b) Secteur de l’analyse et de ses interventions Dans ce secteur, le programme est organis´ autour des concepts fondamentaux de fonction, qui permet de e mod´liser le comportement des ph´nom`nes continus, et de suite (ou de s´rie), qui permet de mod´liser le e e e e e comportement des ph´nom`nes discrets. Les interactions entre le continu et le discret sont mises en valeur, e e notamment en seconde ann´e. e Le programme d’analyse combine l’´tude des probl`mes qualitatifs

général sur les suites : monotonie , opérations , suites bornées (sur polycopié+exercices ) ; définition d’une suite convergente dans K ( K = R ou K = C ) , unicité de la limite ; toute suite convergente est bornées , toute suite convergente vers un réel non nul est du signe de sa limite APCR ; suite extraite : définition , sous-suite d’une suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et

naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique. Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, … Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre. I. Définition et représentation graphique 1) Définition d'une suite numérique Exemple d'introduction :