Suite et série de fonctions

. . . . . 3 Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 3.1 Intégrales des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions intégrables, intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Intégration d’un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Méthodes d’approximation numérique des intégrales

Soit f ∈ E. f est de classe C1 sur [0, 1]. Donc la fonction |f ′ | est continue sur le segment [0, 1] et par suite la fonction |f ′ | est intégrable sur le segment [0, 1]. On en déduit que f existe dans R. 1 • Pour tout f ∈ E, f = |f(0)| + 2 • Soit f ∈ E. 0 |f ′ (t)| dt 0. 1 1 f = 0 ⇒ |f(0)| + 2 0 • Soient f ∈ E et λ ∈ R. ⇒ ∀t ∈ [0, 1], f(t) = f(0) = 0 ⇒ f = 0. 1 ⇒ f(0) = 0 et ∀t ∈ [0, 1], |f ′ (t)| = 0 (fonction continue, positive, d’intégrale nulle) ⇒ f(0) = 0 et

Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins

1 Dénitions Dénition d'une série entière : Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre

l’ étude de diverses fonctions et en particulier à une fonction applique ledit procédé de sommation. à laquelle on Dans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes. Toute application de N dans C étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation usuelle a(n) = an . A toute suite complexe a, on associe la suite a dé…nie par : n 1 X n ak 8n 2 N; an = n 2 k=0 k L’ objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la série Partie I : deux exemples

Introduction La théorie des fonctions analytiques a vu le jour avec Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857), Bernhard RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions. Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule

on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an . ® Remarques • Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme

SESSION 2007 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 EXERCICE a. f est continue sur le compact [0, 1]2 en tant que quotient de fonctions continues sur [0, 1]2 dont le dénominateur ne s’annule pas sur [0, 1]2 , à valeurs dans R. On sait alors que f admet un maximum sur ce compact. b. f est de classe C1 sur l’ouvert ]0, 1[2 . On sait alors que si f admet un maximum en un point (x0 , y0 ) de cet ouvert, (x0 , y0 ) est un point critique de f. Or, pour (x

initiatives qu'il est amené à prendre. Soit E I'ecyace vectoriel complexe des fonctions complexes définies et continues sur le segment I = [O, XI. Soit li.lla l'application qui, B toute fonction f de E, associe le maximum du module de la fonction f sur l'intervalle 1 : llfllm = max If(x)l 0SXS;x . Il est connu que l'espace (E,II.II~) est un espace vectoriel nomé. Soit 7;' le sous-ensemble des fonctions f, continûment dérivables, qui appartiennent à l'espace vectoriel E, qui prennent

le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. A propos de l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux » du théorème de convergence normale d’une série de Fourier… Pour toute fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients de 2π ∫ 0 Fourier trigonométriques définis par