Suite Fraternelle

Définitions : Définition 1 : Soit u n  une suite. 1. La suite u n  est majorée s’il existe un réel M tel que u n ≤M pour tout entier n. 2. La suite u n  est minorée s’il existe un réel m tel que u n ≥m pour tout entier n. 3. La suite u n  est bornée si elle à la fois majorée et minorée. Remarque 1 : Soit une fonction f majorée (resp. minorée, bornée),  Si la suite u n  définie par u n = f n  existe alors elle est majorée (resp. minorée, bornée).  Si une suite  v n  vérifiant v n1= f  v n 

Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute suite décroissante

Cours sur les suites Généralités Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation

2012 Exercice 1 ROC 3 points On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 1) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme S n = u0 1 − qn+1 1−q 2) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 1 1 1 1 + + + + ··· + + 3 9 27 6561 Exercice 2 Visualisation d’une suite 2 points Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par : f (x) = 3 − 4 x+1 On considère la suite définie pour tout n ∈ N par : u0 = 4 un+1 = f

une suite de nombres réels, on pose : n Sn = u0 + u 1 + . . . + u n = uk . k=0 La limite de Sn est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn

NotationsUne suite numérique est une fonction de ℕ vers ℝ. Si une suite est représentée par la lettre u, on note un l'image de n, appelée aussi terme d'indice n. La suite entière est représentée par (un). Suite des valeurs d'une fonction.Soit f une fonction définie sur [0; +[. On peut définir une suite (un) par un = f (n). Exemple Soit f la fonction définie par . On considère la suite (un) définie par un = f(n). On a alors : , , , etc... Suite définie par récurrenceOn définit une suite par

EXERCICE 2 PARTIE A 1/  Soit (Un) la suite définie par U0 = 10 et pour tout entier naturel n :  Un+1 = 0.9Un+1,2  On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n , par Vn=Un-12  a) Démontrez que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.  Vn+1 = Un+1 - 12 = 0.9Un + 1.2 - 12 = 0.9Un-10.8 = 0.9(Un-12) = 0.9Vn  q=0.9  V0=-2  b) Exprimez pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.  Vn=-2*(0.9)^n  c) En déduire que, pour

positifs . La série de Riemann n +1 converge car P + 1 > 1 . On a donc la convergence de un (x) . P un converge simplement sur R+ p On peut remarquer que un (1= n) = 1 1 1=2 on a une série de Riemann divergente. +1=2 . Donc pour a 2 Pn P On a trouvé une suite (xn ) telle que u(xn ) diverge . la série un ne converge pas normalement 1b) On a la majoration : x x 1 ) un (x) n 1:1 = n1 x 1 1 ) un (x) n :nx2 = x n 1+1 + 1 n donc > 1 )CVN Mais je ne trouve pas de majoration simple marchant

: Unicité de la limite d'une suite ♥♥ Prérequis : définition de la limite finie d'une suite Proposition : Si la suite (un ) a une limite finie L, alors cette limite L est unique. Démo : Par l'absurde Supposons que la suite (un ) admette deux limites distinctes L1 et L2 avec L1 < L2. On choisit un rayon ε suffisamment petit pour que les L1 L2 intervalles I 1= ] L 1− ε; L 1+ ε[ et I 2 = ] L 2 − ε; L 2 + ε[ soient ε ε disjoints (i.e. leur intersection est vide). La suite (un ) tend vers L1 donc à partir

: A1 A1 B2 A0 On en déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés suivantes : La suite (an ) est croissante ; La suite (bn ) est décroissante ; Pour tout entier naturel n, on a : an bn Pour que ces deux suites soient adjacentes, il suffit de montrer que : lim bn − vn = 0 n→+∞ 0 2 4 Or, d’après la question 2. , le terme de rang n de la suite (un ) admet l’écriture : 1 n un = 6·