Suite

naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique. Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, … Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre. I. Définition et représentation graphique 1) Définition d'une suite numérique Exemple d'introduction :

la nature de cette suite ? 2×0 1 1 2×1 1 2×2 1 5 2×3 1 7 u 0= = , u 1= =1 , u 2= = , u 3= = . 3 3 3 3 3 3 3 2 On a u1 – u0 = u2 – u1 = u3 – u2 = . La suite (un) commence comme une suite arithmétique 3 2 de raison . 3 b) Démontrer que la suite (un) est une suite arithmétique. 2n11 2n1 2 n3−2 n1 2 u n1−u n= − = = . La suite (un) est donc une suite 3 3 3 3 2 arithmétique de raison . 3 c) Calculer S10 = u0 + u1 + u2 + .... + u10. u u On sait que si (un) est une suite arithmétique, Sn =

Formules concernant les suites arithmétiques et les suites géométriques I Suites arithmétiques 1°) Définition : On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est souvent noté r). 2°) Exemple : Suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 : 2 5 8 11 14 17 etc. 3°) Notations possibles : Si on note u0 le premier terme, on a : u0 = 2, u1 = 5, u 2 = 8, etc. et, dans

2, où p est un entier (d'après l'hypothèse de récurrence). = 6p Donc 2k+1 est divisible par 3. L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est jamais vraie. Méthode : Mener un raisonnement par récurrence On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par et . Démontrer par récurrence que : . Initialisation : et . La propriété est donc vraie pour n = 0. Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit

n n + 1 n(n + 1) c) Faux : La suite du b) est strictement croissante et ses termes sont tous inférieurs à 1. d) Vrai : pour tout entier naturel n, f(n+1) > f(n).  QCM  QCM 5 7 1. c) u 1 = 3, u 2 = , u 3 = . 2 3 1 1 • u 2 – u 1 = – ≠ u 3 – u 2 = – , donc la suite (u n ) 2 6 n’est pas arithmétique. u2 5 u3 14 • = ≠ = , donc la suite (u n ) n’est pas u1 6 u2 15 géométrique. 5 2. b) Pour tout entier naturel n, u n+1 = u n donc 3 la suite (u n ) est géométrique. 1.

• Une suite croissante et non majorée diverge vers +1 • Une suite décroissante et non minorée diverge vers -1 Démonstration : Démontrons le premier point. La méthode est analogue pour le second point. Soit (un) une suite croissante non majorée, et A un nombre réel quelconque. La suite n’est pas majorée, donc il existe un rang k tel que uk > A Or, la suite (un) est croissante, donc pour tout n > k, on a : un > uk Donc pour tout entier n > k, on a un > A Conclusion : La suite (un) diverge

VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. PARTIE A Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par un = (−1)n . 1. La suite (un ) est bornée. 2. La suite (un ) converge. un converge. n 4. Toute suite (v n ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0. 3. La suite de terme général E XERCICE 4 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = 6 − 5 . x +1

entier n tel que : n! 107 2. Étude d'une suite. On considère la suite (un) définie par : un = a. Calculer u0, u1, u2 et u3. b. Démontrer que la suite (un) est strictement croissante. c. Le but de cette question est de prouver que (un) est majorée. (i) Démontrer que : n 1 k! k =0 n un 1+ 1 2 k −1 k =1 1 2 n n (ii) Démontrer que : k =1 1 2 k −1 = 2 1− (iii) En déduire que (un) est majorée par 3. d. En déduire que la suite (un) converge. (On ne demande pas de calculer

− 2xy ∂f . (x, y) = ∂y (1 + x2 )(1 + y2 )2 Par suite, pour (x, y) ∈]0, 1[2 ,   ∂f (x, y) = 0   ∂x ⇔  ∂f  (x, y) = 0  ∂y 1 − x2 − 2xy = 0 ⇔ 1 − y2 − 2xy = 0 y2 = x2 ⇔ 1 − x2 − 2xy = 0 y=x 1 − 3x2 = 0 Ainsi, si f admet un maximum dans ]0, 1[2 , ce maximum est √ 2/ 3 1 1 = f √ ,√ 3 3 1 1+ 3 1 ⇔x=y= √ . 3 2 √ 2 9 3 3 =√ × = . 8 3 16 c. Soient A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1) et D = (1, 1). 1 − x2 x d x = . Or . Par suite, la fonction x → f(x, 0) est croissante • Pour

Exercice (4 points) Étudier la monotonie des suites suivantes (en calculant un+1 – un ou 2 a) un = n − n Exercice un+1 ) avec n > 0. un −7 × 32 n b) un = 18n (2 points) La suite suivante est arithmétique. Calculer la raison, le premier terme u0 puis calculer u30 : u5 = 3 et u15 = – 27 Exercice (3 points) La suite (u n ) n∈IN suivante est géométriques . Calculer la raison , le premier terme u1 et u20 : u10 = 8 et u7 = −1 Exercice (4 points) Calculer les sommes suivantes ( en réfléchissant