Symbole de Kronecker

Le calcul matriciel Dans tout ce cours, - K désigne ou . - i,j = 1 si i = j ou 0 si i ≠ j (symbole de Kronecker) I) Espaces vectoriels Mn,p(K) 1) Rappel • A = (ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p B = (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p A + B = (ai , j ) + (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ λ A = (λ ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p j ≤ p 2) Matrices particulières • Une matrice carrée de format (n,n) est notée : Mn(K) • La matrice nulle de format (n,p) est notée : 0(n,p) = (ai,j) avec ai,j = 0 pour tout

qui vaut 1, à la ligne i et la colonne j. On en déduit que dim L(E,F) = dimE × dimF, une base étant constituée des applications Φij définies par : ∀ k ≠ j, Φij(ek) = 0 Φij(ej) = εi ou encore Φij(ek) = δjk εi où δjk = 1 si j = k = 0 sinon (symbole de Kronecker) 4– Produit de matrices Soit E de dimension q de base (ei)i=1..q, F de dimension p de base (εk)k=1..p, G de dimension n de base (ηj)j=1..n. Soit f une application linéaire de E dans F, de matrice B, élément de pq( ) ; Soit g une np nq

2 M n,p (K) de terme général a i j . La matrice unité d’ordre p est telle que tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, les autres étant tous nuls. On peut formaliser cela en introduisant le symbole de Kronecker. Si i et j sont deux entiers, on appelle symbole de Kronecker, et on note ± i, j , le réel qui vaut 0 si i est différent de j , et 1 si i est égal à j . Donc ( 0 si i 6= j ± i, j = 1 si i = j. Alors le terme général de la matrice identité I p est ± i, j avec i et j entiers

d’éléments de K deux à deux distincts. Pour tout i ∈ {0,1,…, n } on pose Li = 0≤ j ≤n , j ≠i ∏ (X −a j ) (ai −a j ) . 0≤ j ≤n , j ≠i ∏ a) Observer que, pour tout j ∈ {0,1,..., n } , on a Li (a j ) = δi , j (où δi , j est le symbole de Kronecker (1823-1891) qui est égal à 1 lorsque i = j et 0 sinon). b) Montrer que ∀P ∈ K n[X ] on a P (X ) = ∑ P (ai )Li (X ) . i =0 n Exercice 61 Polynômes de Legendre (1752-1833) : Pour tout entier naturel n on pose Ln = (n ) n! ((X 2 −1)n ) .

:X →Y f :X Y la fonction f est injective la fonction f est surjective l’ensemble des parties de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme

d’un polynôme . . . . . . . . . . . . Sous-goupes discrets de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions à variations bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . Cesàro en version continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalités de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation du théorème de Cesàro pour les suites itérées Formule de Faulhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moyennes d’une

est la s´ quence a temps discret c e ` , d´ finie par : e ` e ou est le eme symbole de la s´ quence d’information (binaire antipodale, ` ), est l’amplitude re¸ ue et c est un bruit blanc additif Gaussien (BBAG) de moyenne nulle et de variance . A la r´ ception, on applique une corr´ lation pour d´ terminer si un e e e ou un est transmis a l’instant . On suppose qu’on transmet une s´ quence d’information a symboles equi` e ` ´ probables. Dans ce cas, le r´ cepteur est un simple d´ tecteur : e

(2.8) ε′ ou εi (2.8) sont appelées déformations principales. On les note souvent avec un seul indice (εi ) et elles ij sont solution (les racines) de l’équation (2.9). ¯ ¯ det ε − εi I = 0 ou |εij − εi δij | = 0 (2.9) où δij est le symbole de Kronecker qui est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est considéré comme une convention d’écriture plutôt que comme une fonction. δij = 1 si i = j 0 si i = j En Mécanique des Milieux Continus

succession de 2 d´riv´es premi`res est-elle une d´riv´e e e e e e seconde ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.4 L’´quation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 e 9 Annexes 9.1 Annexe : Le produit de Kronecker 9.2 Annexe : Compl´ments sur le rang e matrices de Gram . . . . . . . . . . 9.3 Annexe : Exercices corrig´s . . . . . . e 94 . . . 94 les . . . 99 . . . 103 . . . . . . . . . d’un syst`me e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . .

74445) Kronecker (1823-1891) Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. (Jahresber. DMV 2, S, 19, in : Les nombres, Vuibert, Paris, 1999, chap. 1, p. 2) Les entiers naturels Les mathématiciens distinguent plusieurs ensembles de nombres et les désignent par des symboles spécifiques. Le premier de ces ensembles, à partir duquel tous les autres ensembles de nombres peuvent être construits, est l’ensemble des nombres entiers naturels. Cet ensemble a pour symbole : ! et