Système conjugué

41 .-% CH-CH i; COlOre :. ): quoi dépenc :. liel renseigner -,' a nature du so CH-CH Repérer les alternances double liaison/simple liaison. Rechercher la molécule présentant l,alternance la plus iong ue. un système conjugué relativement long. -, La forme présente un système conjugué comportant au maximum 4 doubles liaisons, alors que la forme .1, en met en jeu 1 1 : la forme colore la solution qui la contient. Le jus de citron est une solution acide ; l,eau de Javel est une solution basique

3.5.1 Inverse d'un nombre complexe Remarquons : (a + bi) . (a - bi) = a2 + b2 Les nombres complexes a + bi et a - bi ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées. Ces nombres sont appelés complexes conjugués ; leur produit est un nombre réel positif Le complexe conjugué du nombre complexe z est noté z Cette propriété est utile pour calculer l'inverse d'un nombre complexe : 1 1  5i 1  5i 1  5i    Exemple 1: 1  5i (1  5i)(1  5i) 1  25 26 1  25 1  5i 1  5i Remarquons que

purs. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Module et conjugué d'un nombre complexe On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, le réel positif |z| = |z| = 0 ⇔ z = 0 |zz'| = |z|.|z'| a2 + b 2 . ; ; |- z| = |z| 1 = 1 |z| z ; ; |z + z'| £ |z| + |z'| z = |z| z' |z'| On appelle conjugué du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,  le nombre complexe z = a - bi .    1= z z =z ; | z | = |z| ; Si z #

; } public static Complexe polaire(double r,double theta) { return new Complexe(r*Math.cos(theta),r*Math.sin(theta)) ; } 1.2. La classe Complexe 3 public Complexe plus(Complexe z) { return new Complexe(x+z.x,y+z.y) ; } public void conjugue() { y=-y ; } public double norme2() { return x*x+y*y ; } } public String toString() { if (y>0) return x+" + " +y+" i" ; if (y 0) return x + "+ i" + y; if (y < 0) return x + "- i" + -y; return x + " "; } Variable statique On

l’expression de Z ; Exprimer X et Y en fonction de x et y En déduire et construire les ensembles des points suivants : z∈IR z∈iIR NOMBRE COMPLEXE CONJUGUE Définition Soit z = a+ib un nombre complexe, on appelle nombre complexe conjugué de z et on note ( z) ̅ , le nombre complexe : a – ib. Remarque : z ̿=z on dit alors que z et z ̅ sont conjugués. Soit M(z) et M’(z ̅) alors les points M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe réel Soient z =a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres

Résoudre dans C l’équation (E) 2iz + 3 − 5i = 0. On isole z dans un membre et on rend le résultat sous forme algébrique : (−3 + 5i)i −3i − 5 5 + 3i −3 + 5i = = = (E) ⇐⇒ z = 2i 2i2 −2 2 3.3.2 Complexe conjugué Définition : Soit z un nombre complexe, de forme algébrique z = x + iy. Le nombre conjugué de z est le nombre complexe z = x − iy. ¯ Représentation géométrique : Dans le plan complexe, le point M d’affixe z est symétrique du point M d’affixe z par ¯ rapport à l’axe des abscisses. Propriété :

est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; [pic] ;[pic] ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ =[pic], où [pic]désigne le nombre complexe conjugué de z . 1) Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Un point M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, sont image M’ a pour affixe z . D’où M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, z = [pic]ou z[pic][pic]=

imaginaires des nombres suivants : 2 + 2i, 2, i, formule+formule Activité: Calculatrice scientifique, localisation de l'élément i sur la machine 2) Conjugué et module d'un nombre complexe Définition: Soient a et b des nombres réels. Le nombre complexe conjugué de z = a + ib est le nombre complexe formule= a – ib. Exercice: Quel est le conjugué de: 2+i, i, 7? Soit z = 5 + 3i. Calculer z + formule, z - formule. Exercice: Démontrer les propositions suivantes: z + formule= 2formule

des axes 6 2. Le nombre complexe Z 2  z A est : Réponse A : un nombre réel positif négatif Réponse C : un nombre imaginaire pur point du plan complexe Réponse B : un nombre réel Réponse D : l’affixe d’un pris hors des axes 3. Le nombre complexe conjugué de z A est : Réponse A : 4ei / 6 Réponse B : 4ei 7 / 6 Réponse C : 4e i / 6 Réponse D : 1 i / 6 e 4 4. Le nombre complexe zC peut se mettre sous la forme : Réponse A : 2 2e  i / 4 Réponse B : 2 2e3i / 4 Réponse C : 2 2e5i / 4 Réponse

Module et conjugué d'un nombre complexe Nombres complexes On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, Définition - Propriétés Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires