Tan-Tan

sin = x→ 0 x cos x = lim 2 x → +∞ x + x 2 + cos x = lim x → −∞ 2+x lim ⎛1⎞ lim x. sin (x ). cos⎜ ⎟ = x →0 ⎝x⎠ lim x →0 x2 + x x2 − x x −1 = = (x − 1)2 lim x →1 sin (3x ) = x →0 7x sin (3x ) = lim x →0 tan (x ) cos(x ) + cos(2x ) = lim x → 0 cos(3x ) + 3 cos(4 x ) 2 tan (x ) + sin (x ) = lim x →0 x lim lim x→ π 4 1 − 2 cos(x ) 1 − 2 sin (x ) = 3x 2 − 5x = lim+ 2 x → −1 x + 4 x + 3 lim x →8 sin 2 (2 x ) lim = π x → 1 + sin (3x ) 2 2x − 4 x +1 − 3 = lim x →0

b ] f ( x) = 0 f . (a ≠ 0 ) (a ≠ 0 ) lim x0 f ( x) a − a 0 = = g ( x) 0 0 f ( x) 0 + 0 0 = = 0 0 g ( x) (c (d f ( a ) ⋅ f (b ) 〈 0 lim x0 . c ∈ [ a, b] . c f ( a ) ⋅ f (b ) ≤ 0 f (* : (* lim x →0 x2 = x : tan ( ax ) =1 ax (e sin ( ax ) =1 ax (III : I J 1 − cos ( ax ) . (4 (ax ) x0 2 = 1 2 lim x →0 lim x →0 (1 f . lim f ( x ) (5 (a I f I f f (I ) = J (* (* (* x0 f f lim f ( x ) = f

pour représenter dF en vraie grandeur Dans les deux cas : uuuur r Nvis→écrou = ∫ OM ∧ dFθ = R. sin(ϕ ± α ) . ∫ dF Z vis→ écrou = ∫ dFa = cos(ϕ ± α ) ∫ dF C'est-à-dire Nvis→ écrou = R. tan(ϕ ± α ) . Z vis → écrou Dans le cas du vissage Dans le cas du dévissage Cff = R. tan(ϕ + α ) . Effort axial Cff = R. tan(ϕ − α ) . Effort axial Condition de blocage (non réversibilité) Il faut que l’action de la vis sur l’écrou puisse générer uniquement un effort axial et qu’en tout point l’action mécanique

notée tan définie sur x    \   k,k   2  tan x  sin x . cos x Questions : 1. Exprimer tan  a  b  en fonction de tan  a  et tan  b  , sous réserve de l’existence des tangentes. 2. Démontrer que : x  tan(a  b)    \   k, k   2  tan a  tan b , 1  tan a tan b 1  1  tan 2 x cos 2 x tan(2a)  2 tan a 1  tan 2 a , sous réserve de l’existence des tangentes. 1  1  tan 2 x cos 2 x Exemple 7. :        Déterminer tan 0 , tan   , tan   ,

free.fr TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES Trigonométrie rectangle Exercice n°1. Compléter les égalités en respectant bien les notations de l’énoncé cos α = sin α = tan α = cos β = sin β = tan β = cos ABC = sin ABC = tan ABC = cos ACB = sin ACB = tan ACB = cos a = sin a = tan a = cos b = sin b = tan b = Exercice n°2. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et ABC = 30° . Calculer BC et AB Exercice n°3. Les dimensions du triangle OBM sont données sur la

b/cTangente de A = tan A = a/bCotangente de A = cotan A = b/a  ------------------------------------------------- Formules fondamentales :sin²x + cos²x = 1tan x = sin x/cos x------------------------------------------------- Fonctions trigonométriques dans un triangle quelconque.c² = a² + b² - 2ab cos Coù s est le demi périmètre du triangle.------------------------------------------------- Valeurs des sinus, cosinus et tangentes des angles courrants. Angle en radian | sin x | cos x | tan x | cotan x |

équation différentielle en r(θ). ˙ dθ θ Le rapport de l’équation (1) sur l’équation (2) donne : P v0 x ex O θ d M er r θ eθ dr v − v0 cos θ = r(θ) dθ v0 sin θ v d θ v0 6. Vérifions que la fonction r(θ) = est une solution de tan sin θ 2 l’équation précédente respectant les conditions initiales du problème. π 6.1. A t = 0, θ = , r = d. La fonction r(θ) qui est proposée vérifie bien 2 π r( ) = d donc elle satisfait bien aux conditions initiales. 2 dr 6.2. Pour vérifier que la fonction

cos ( . Le sinus d’un angle ( sur le cercle goniométrique est l’ordonnée du point représentatif de l’angle sur le cercle goniométrique, on le note sin ( . La tangente d’un angle ( est le rapport entre le sinus et le cosinus de l’angle, on la note tan ( (ancienne notation : tg ( ). La cotangente d’un angle ( est le rapport entre le cosinus et le sinus de l’angle on la note cotan ( . (ancienne notation cotg ( ) . Représentation sur le cercle du sinus, cosinus, tangente et cotangente d’un angle

rapport à x σn = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + 2τ xy sin θ cos θ ( τnt = (σ y − σ x )sin θ cos θ + τ xy cos 2 θ − sin 2 θ ) τ −2θ σ • Détermination des contraintes et directions principales τnt = 0 Méthode 1 tan 2θ = 2 τ xy σx − σy on trouve donc les directions principales a tan 2θ = b a = τ xy avec b= σx − σy 2 σ1 = σ x cos 2 θ1 + σ y sin2 θ1 + 2τ xy sin θ1 cos θ1 σ3 = σ x cos 2 θ3 + σ y sin2 θ3 + 2τ xy sin θ3 cos θ3 τ ou σ1 = centre + rayon σx + σy 2 a sin 2θ b σx σy 2θ a σ

croissante, impaire : arctan(–x) = – arctan(x) ∀ x ∈ , tan(arctan(x)) = x ∀ θ ∈ ]–π/2,π/2[, arctan(tan(θ)) = θ MAIS cette dernière relation est fausse si θ appartient à un autre intervalle. Exemple : arctan[tan(3π/4)] = arctan(–1) = – π 4 cos(arctan(x)) = 1 1+x2 -9© © ¨ ¨ c) arctan : tan : ]– π, π[ → 2 2 On a donc : est continue strictement monotone. Elle admet donc une réciproque notée arctan. θ = arctan(x) ⇔ θ ∈ ]– π, π[ et x = tan(θ) 2 2 –1 –π 4 – 1 3 –π 6 0 0 1 3 π 6