Tenseur

. . . . 13 1.1.5 Sur le caract`ere direct des bases i.e. la notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 D´efinition des tenseurs comme applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Repr´esentation par une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7.4 Vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Dynamique du corps rigide 14 7.6 Centre et tenseur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ´ 7.7 Equations de Newton et Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ii ` TABLE DES MATIERES Les liaisons 7.8 Encastrement . . . 7.9 Sph´rique . . . . . e 7.10 Pivot . . . .

Le 28 janvier 2013 Groupes IMC 10, IMP 10, ITDH 10 EMD 1: Mécanique des milieux continus Exercice 1 Dans un repère orthonormé ( 1, 2, 3), l’état des contraintes est représenté par le tenseur suivant : 0 0 1-Déterminer le vecteur contrainte agissant sur : a) une facette de normale ( , , ), et (3/7,6/7,2/7) √ √ √ b) une facette perpendiculaire à 3. Déduire la contrainte normale et tangentielle. 2) Déterminer par leurs normales unitaires les facettes parallèles à 3 , , 0 sur lesquelles le vecteur

................................................................. 10 3. Quantité de matière....................................................................................................................................... 10 Section A3 : Le tenseur des contraintes ................................................................................................... 11 Section A4 : La pression dans un fluide .......................................................................................

α, β, k, v, u etc. : scalaires u, v, w etc. : vecteurs A, B, L etc. : tenseurs du deuxième ordre E : espace euclidien V : espace vectoriel des translations Lin : espace vectoriel des tenseurs du deuxième ordre · : produit scalaire ∧ : produit vectoriel ⊗ : produit dyadique |k| : valeur absolue d’un scalaire |v| : norme d’un vecteur |L| : norme d’un tenseur & & & p, v, L : dérivation par rapport au temps ∇ : gradient Io : tenseur d’inertie relatif au point o C : barycentre U : potentiel V : énergie

SI : kg⋅m-3) ; \vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 ) désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m⋅s-1) ; p désigne la pression (unité SI : Pa) ; \overline{\overline{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j} est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ; \vec{f} désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : N⋅kg-1) ; e est l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J⋅kg-1) ; \vec{\dot{q}} est

problème peut être défini par les équations suivantes: Comportement ( Loi de Darcy) : La loi de Darcy exprime que la vitesse d’écoulement v = (vx,vy) est proportionnelle au gradient de u : v = - (R/ρ).gradu (2) rxx 0  où R =   est un tenseur d’ordre 2 qui dépend de la perméabilité du milieu poreux et  0 ryy  de la viscosité de l’eau. Conservation de la masse d’eau: € En supposant l’écoulement stationnaire et l’eau incompressible, on écrit : div(ρv) = f (3) où f représente

point (x0 , y0 ) du bord des différents ensembles Ω. On considère la fonction u définie par u(x, y) = x2 y 3 . Déterminer la dérivée normale de u au point (x0 , y0 ) du bord des différents ensembles Ω. Ex. 10 — Soit Ω ∈ Rd avec d = 1, 2, K(x) un tenseur d’ordre d, V un vecteur de Rd et les EDP suivantes : −∆u(x) + k 2 u(x) = f (x) ∀x∈Ω div (K(x)∇u(x)) + V · ∇u(x) = g(x) 1.Ecrire ces deux équations en fonction des dérivées partielles ∀x∈Ω ∂ , ∂x ou ∂ , ∂x ou ∂ ∂z selon d. Ex. 11 — Inégalité

réfèrent respectivement aux quantités interne, externe, d'inertie et d'amortissement. L'équation (2) peut s'écrire en déplacementsous forme matricielle : où : {a} représente les composantes cartésiennes du tenseur des contraintes. - 297 - { E} les composantes équivalentes du tenseur des déformations {f,} les forces de volume p e t c respectivement la masse volumique et l'amortissement visqueux champ des d6placements virtuels (f,} = désignent respectivement des vecteurs colonnes

a : H = H0 et E = E0. Lorsque l’on applique un champ statique B0 à cet électron, on ajoute un terme de perturbation dû à l’effet Zeeman sous la forme d’un hamiltonien : H = H0 + Hz Hz = g(B0Sz Avec ( le magnéton de Bohr et g le tenseur gyromagnétique. On a alors un éclatement des niveaux auparavant dégénérés suivant la valeur du spin (+ ou – ½) : E+ = E0 + g(B0h/4& E- = E0 - g(B0h/4& Si on applique un champ magnétique excitateur B1 de pulsation