Théorème central limite

...................................................................... 18 E - Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale ........................................................... 20 I - La loi des grands nombres......................................................................................................... 20 II - Le théorème de la limite centrale ou « central- limite » ........................................................... 21 1 A- ELEMENTS DE STATISTIQUE DESCRIPTIVE

Lois limites Echantillonnage 1 Lois Limites 1.1 Exemple On considère X1, . . . , Xn ,n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de moyenne m et d'écart type s. Soit alors = m et = s 1.2 Deux théorèmes fondamentaux Th 1 : Loi faible des grands nombres Soient X1; X2 ; . . . Xn n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m alors la variable aléatoire vérifie pour tout réel positif e : Signification: Lorsque n devient très grand, le

La carte de contrôle * 3 Différentes cartes de contrôle * 3.1 Cartes pour variables quantitatives * 3.2 Cartes pour variables qualitatives * 3.3 Carte de contrôle à la moyenne et de l'étendue * 3.3.1 But * 3.3.2 Limites de contrôle * 3.3.2.1 L'écart type est connu * 3.3.2.2 L'écart type est inconnu * 3.3.2.3 Exemple * 3.4 Carte de l'étendue * 3.5 Coefficients * 3.6 Cartes de contrôle aux attributs * 3.6.1

Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.5 Comparaison des modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.6 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.7 Le théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Bibliographie 125 c ⃝Boukhari.F Introduction Ce manuscrit est une introduction au calcul des probabilités

. . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Ergodicité géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2.1 Ergodicité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5 7 Fonctionnelles additives : théorème de la limite centrale 145 8 Critères de dérive 167 7.1 Approche par renouvellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2 Approche par les martingales et l'équation de Poisson . . . . . . . . 158 7.3 Calculs asymptotiques de variance

le nombre total de résistances défectueuses du tirage. Question 9 (A) On a P({Sn =k})= pkqn−k pour 0≤k≤n (B) Sachant que S2 =1, la probabilité que X1 =1 est (C) On a Var(Xk )= p2 (D) On a Var(Sn ) =nVar(X1) (E) On a Pour n grand, le théorème de la limite centrale permet d'approcher la loi de Sn par une loi normale N(m,σ). On rappelle que si la variable aléatoire Y suit la loi normale centrée-réduite N(0,1) la probabilité que -1,96<Y<1,96 est de 95%, la probabilité que Y <1 est de 84% Les valeurs

. . . . . . . . . . . . . . Modèle probabiliste . . . . . . . . . . Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité conditionnelle . . . . . . Un nouvel Univers . . . . . . . . . . . Exemple: fausse alarme . . . . . . . Théorème de probabilité totale . . Théorème de Bayes . . . . . . . . . . Inférence bayésienne . . . . . . . . . Indépendance . . . . . . . . . . . . . . Quelques stratégies . . . . . . . . . . Compter = multiplier. . . . . . . . . . . . ou diviser! . . . . . . . . . . . .

Origine C'est l'ingénieur Walter A. Shewhart qui développa en 1925 le principe des cartes de contrôle appliqué à des caractéristiques mesurables. Ses recherches, menées aux «Bell Laboratoires» de la Western Electric, le conduisirent à définir les limites de contrôle. 2.3. Principales cartes de contrôle utilisées - Carte de contrôle pour la moyenne ( X ) et d’étendue ( R ), - Carte de contrôle pour la moyenne ( X ) et l’écart type (s), - Carte de contrôle pour la médiane et l’étendue, - Carte

2 3 . d. Montrer que, pour tout n >1, An+1 = (An ∩Rn)∪ ³ An ∩Rn ´ . e. En déduire que, pour tout n >1, an+1 = 1 6 an + 1 3 , puis déterminer l’expression de an en fonction de n. f. En déduire l’expression de rn en fonction de n puis la limite de rn quand n tend vers +∞.

une distribution d’échantillonnage de moyennes, d’écarts- type, de fréquences. De façon similaire chaque distribution d’échantillonnage sera caractérisée par une moyenne et un écart-type. 2 Distribution d’échantillonnage de moyennes 2.1 Théorème de la limite centrée Soit X1, X2, ,Xn, n variables aléatoires indépendantes, ayant même espérance mathématiques m et même écart type σ ,si Mn est la variable aléatoire définie par : X + X 2 ......X n Mn = 1 = n ∑ Xi i =1 i =n n Si n est