Théorème d'Abel

convergence en −R et en R. c) Déterminer la limite de f (x) quand x → 1− . d) Montrer que quand x → 1− (1 − x)f (x) → 0 a) Peut-on affirmer que la série numérique an converge et que sa somme vaut ? b) Que dire si l’on sait de plus an = o(1/n) ? [Théorème de Tauber] Equivalent en une extrémité de l’intervalle de convergence Exercice 34 [ 03068 ] [correction] Soit I l’ensemble des réels x tels que la série entière +∞ Continuité en une extrémité de l’intervalle de convergence Exercice 31 [

sous-espace de E form´ des fonctions polynomiales sur [0, 1]. La famille (en )n 0 est une base e de P. Les op´rateurs lin´aires P et A1−α ◦ Aα co¨ e e ıncident sur les ´l´ments de cette base. Ils co¨ ee ıncident donc sur P. IV.C.3) Formule d’inversion d’Abel. a) P est lin´aire et pour tout f de E, P f est une primitive de f sur [0, 1] et donc P f est continue. C’est e a ` dire que P est un endomorphisme de E. En plus, x x 1 |P f (x)| = 0 f (t) d t 0 |f (t)| d t 0 f dt = f Ceci montre

le reste d’une n série et la série elle même convergent ou divergent à la fois. La preuve est à faire en exercice. 2-4 Séries à termes positifs. 2.2.1PCritères de convergence. Soit Un une série numérique dont les termes sont positifs ou nuls. n Théorème 2.1 Pour que la série P Un à termes positifs converge il faut et il su¢ t qu”il existe un nombre n postif A tel que 8n 2 N Sn A: Preuve: La suite des sommes partielles Sn est croissante Sn+1 = Sn + Un+1 Sn Donc, pour que la suite (Sn )n2N

convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n x = −1 : c’est la série harmonique alternée , elle est convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 )n soit bornée. Alors : 1. La série an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. 2. La série |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour

convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n x = −1 : c’est la série harmonique alternée , elle est convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn )n soit bornée. Alors : 0 1. La série 2. La série |x0 |. an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout

définition, de dérivée x → 1 x ln x . On en déduit, par l’inégalité des accroissements finis, que |ln(ln(n + 1)) − ln ln(n)| ≤ Il en découle : 0≤ un+1 un ≤ (n + 1)α n × exp α n n ln n × ln(n + 1) n+1 1 . n ln n On en déduit facilement, par les théorèmes de composition des limites et par le fait que ln(n+1)/(n+1) tend vers 0, que la limite de un+1 /un est nulle. Par la règle de d’Alembert, la série de terme général un est convergente. Exercice 3 - Développements limités - L2/Math Spé 1. Le terme

convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n , elle est convergente. x = −1 : c’est la série harmonique alternée n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 ) soit bornée. Alors : 1. La série an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. 2. La série an xn est normalement convergente pour |x| < r, et pour tout

; d’où la proposition : Proposition 1.3.1 Soit un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn )n est majorée Preuve. Il suffit d’appliquer la remarque (1.3.1) et de se rappeler que les suites croissantes et majorées sont convergentes. Théorème 1.3.1 (Règle de comparaison) Soit un vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout n ∈ N. Alors : 1. vn converge =⇒ 2. un diverge =⇒ Preuve. un converge. vn diverge. n 1) un ≤ vn =⇒ Sn = k=0

. . . . . . . . 1 1 1 7 13 17 22 25 30 35 35 52 69 82 92 101 117 Dérivation 129 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications

+ bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n. p=n p=n S= p=m sin px C= p=m cos px. 2kπ où k ∈ Z : Commençons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t p=n