Théorème d'Abel

D'UN GLISSEUR EN UN POINT 3 1.3.1 Définition 3 1.3.2 Remarques 3 1.3.3 Théorème 3 1.3.4 Remarques 4 1.3.5 Coordonnées du moment d'un glisseur 4 1.3.6 Changement d'origine des moments 5 1.3.7 Coordonnées d'un glisseur : théorème 5 1.3.8 1.3.9 Remarques Exercice 6 7 1.4 8 1.4.1 Définition 8 1.4.2 Théorème 8 1.4.3 1.5 MOMENT D'UN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE Exercice 8 TORSEURS (OU DYNAMES)

matière de connaissances théoriques, ce cours donne le bagage minimal sur ce qu’il vaut mieux savoir quand on a des calculs à faire. En cas de besoin, un jour ou l’autre, on pourra toujours s’y référer. Mais une succession de propriétés et de théorèmes serait une abstraction creuse sans une multitude d’exercices. Nous avons volontairement privilégié le chapitre sur les suites. De nombreux phénomènes réels sont modélisés par une succession de nombres u0 , u1 , u2 , u3 , etc., correspondant

 Il suffit d'écrire : h(x) = 3 × 1 x2 − 1 et d'appliquer la formule  v′  1 ′   =   −  avec  v(x) = x2 − 1  (donc  v′(x) = 2x ) v v2 On obtient : h′(x) = 3 × − 2x (x2 − 1)2 = − 6x (x2 − 1)2 III - Applications de la dérivée Si nécessaire, revoir Théorème la notion de sens de variation d'une fonction. Soit  f  une fonction dérivable sur un intervalle  I ,  f  est croissante sur  I  si et seulement si  f ′(x)  est positif ou nul pour tout  x ∈ I . De plus si  f ′(x)  est strictement positive sur 

. . . . . 1 1 4 5 7 8 10 10 11 11 CHAPITRE II. Fonctions holomorphes II.1. Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . . II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte . II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

milan 0 1 8 f (x) π 6 0 0 0 1 8 6 Terminale S 2 ⇒ correction exercices Annales Exercice 9 Polynésie septembre 2005 1) a) Comme −1 cos x 1 ∀ ∈ R, la fonction f est donc encadrée par −g(x) et g(x). b) lim −e−x = lim e−x = 0, d’après le théorème des gendarmes lim f (x) = 0. x→+∞ x→+∞ x→+∞ 2) Pour déterminer les points communs à Γ et C , il faut résoudre f (x) = g(x) f (x) = g(x) ⇔ e−x cos(4x) = e−x ⇔ cos 4x = 1 ⇔ 4x = k 2π ⇔x=k π 2 π π Les coordonnées des points commun Ak entre

l’hypothèse de récurrence. Il suit que Pn est vraie pour tout n ∈ IN. Pour tout n ∈ IN, puisque un ∈ [0, 1[, on obtient un+1 = f (un ) ≤ un en utilisant (a). La suite est donc décroissante. Elle est de plus minorée (par 0) toujours grâce à (a). D’après un théorème du cours elle converge. (c) Démontrer que l vérifie: l ∈ [0, 1] et l = f (l) puis déterminer l. Solution. La continuité de f est cruciale ici. La suite étant décroissante et minorée par 0, la limite est comprise entre 0 et u0 et donc elle appartient

/.. 4 MATHEMATIQUES 4/6 11 G 26 A 01 Séries : S2-S2A-S4-S5 Epreuve du 1er groupe 3) f continue et strictement croissante sur IR donc f réalise une bijection continue de IR sur • v• = v• et 1 ∈ • v• . Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation f(x) = 1 admet une solution unique 6 ∈ v• Montrons 3 < 6 < 4. La restriction de • à [3 ; 4] est une bijection continue et • 3 < 1 < • 4 donc l’équation • 3 = 1 admet une solution 6 ∈b3, 4a. II P 3 =

Les limites suivantes sont fournies dans le cours. Elles fournissent toutes un nombre dérivé. sin(x) =1 x→0 x lim cos(x) − 1 =0 x→0 x lim ex − 1 =1 x→0 x lim lim x→1 ln(1 + h) ln(x) = 1 ou lim = 1. h→0 x−1 h Théorèmes de croissances comparées ex • lim = +∞ et lim xex = 0. x→+∞ x x→−∞ ln(x) • lim = 0. x→+∞ x Quelques techniques usuelles pour lever des indéterminations Mise en facteur du terme prépondérant Exemple 1. Trouver lim x − 1 − ex . x→+∞

CHAPITRE 1 LA PERIODE PRECONTRACTUELLE Les pourparlers correspondent à une période particulière des relations entre deux interlocuteurs, souvent professionnels. Les deux parties ouvrent des négociations afin de déterminer si la signature d’un contrat est envisageable et, le cas échéant, de déterminer le contenu de ce futur contrat. De telles négociations ne concernent que des situations à forts enjeux ; dans ce cas, la phase préalable à la conclusion peut s’avérer longue et délicate. 1. Les

motivés par leur propre intérêt, puissent être cohérentes. Ce qu’il entend par là, c’est qu’il n’y a aucune raison qui permet d’expliquer pourquoi on peut trouver un équilibre entre la demande et l’offre d’un bien. Ensuite il présente les deux théorèmes fondamentaux du bien-être. La première énoncée : « Tout équilibre général (donc équilibre pour tous les marchés) en concurrence pure et parfaite est optimum de Pareto 1 ». Un état de l’économie est un optimum de Pareto lorsqu’il n’est pas possible