Théorème de Bachet-Bézout

TRAVAUX CRYPTOGRAPHIQUES. Transformation – Codage – Cryptage Affine. I- Cryptage: 1- |A |65 |66 |B | |B |66 |70 |F | |C |67 |74 |J | |D |68 |78 |N | |E |69 |82 |R | |F |70 |86 |V | |G |71 |90 |Z | |H

Jellouli Résumé vidéo «Le Dernier théorème de Fermat» Simon Singh: Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonça en marge d'une traduction(du grec au latin) des arithmétiques de Diophante, au regard d'un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens. En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme ceci: Théorème 1 — Il n'existe pas de nombres entiers

entiers x et y qui en sont solution. Dans la suite, on étudie d’abord un exemple particulier avant de considérer le problème en toute généralité. On suppose connus la division euclidienne, les notions de pgcd et de nombres premiers entre eux, les théorèmes de Bachet et de Gauss. § 1. Résolution d’une équation particulière. Considérons l’équation (1) 7x + 12y = 5. Il est clair que x = −1 et y = 1 est une solution de cette équation puisque (2) 7 × (−1) + 12 × 1 = 5. Pour éliminer le terme constant

réalisable de simplifier par a. La simplification ne peut s'effectuer que s'il existe un entier a' tel que aa' a pour reste 1 dans la division par 26. C'est-à-dire s'il existe un entier k tel que, aa' = 1 + k26 soit encore a'a - 26k = 1 Le théorème de Bachet-Bézout affirme que l'on ne peut trouver k et a' que lorsque a est premier avec 26. La clef de code doit donc être un couple d'entiers (a, b) dans lequel a est premier avec 26. C'est le cas, dans l'exemple choisi, l'entier a' est 23. Pour déchiffrer

moitiés de l'angle 36°. Une autre manière de déterminer les différentes valeurs caractéristiques d'un pentagone consiste à utiliser le plan complexe. Les affixes des sommets sont les racines cinquièmes de l'unité. Comme 5 est un nombre de Fermat, le théorème de Gauss-Wantzel a pour conséquence que le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas : les racines s'obtiennent par résolutions successives d'équations du second degré. Dans le plan complexe, les affixes des sommets du pentagone

Pour que u1 et u2 soient premiers, il faut a º 0 (3). De plus a est pair donc a est multiple de 6. 4. a. r est multiple de 2 ¥ 3 ¥ 5 ¥ 7 = 210. b. Pour m = 9, on trouve : 199, 409, 619, 829, 1 039, 1 249, 1 459, 1 669, 1 879, 2 089. 82 1. C’est le théorème de Pythagore. 2. Le volume est abc mais aussi 348 960 150 p. 3. m et n étant de parités différentes, mn est pair. Comme k3mn(m2 – n2)(m2 + n2) = 174 480 075p, 174 480 175p est divisible par 2 donc p = 2. 4. d Ôk donc d 3Ô2 ¥ 35 ¥ 7 ¥ 11 ¥ 13 d’où

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

2 = −10 + 2 × 6. L’algorithme d’Euclide ´tendu appliqu´ au e e couple (15, 2) est alors 15 1 0 2 0 1 q=7 1 1 −7 q=2 0 ´ Etienne Bezout, math´maticien fran¸ais (1730-1783). La paternit´ de ce th´or`me doit semble-t-il ˆtre attribu´e e c e e e e e ´ en fait a Claude Gaspard Bachet de Meziriac. Il est d’ailleurs parfois baptis´ th´or`me de Bachet-B´zout. ` e e e e ´ Bezout fut par contre le premier a montrer l’analogue de ce r´sultat pour les polynˆmes. ` e o (2) ´ 40 CHAPITRE 3. LA DIVISION