Théorème de Bernoulli

probabilités, se modélisent par une double partition. Démontrer que la connaissance de 3 probabilités parmi les suivantes permet de déterminer toutes les autres : P(A), P(B), PA(B), ( )AP B , PB(A), ( )BP A Exercice 8 Loi hypergéométrique, loi de Bernoulli, loi binomiale 1. Une grande enveloppe contient les douze "figures" d'un jeu de carte : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. On tire, simultanément et au hasard, cinq cartes de l'enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui, à

= (X 15 σ2 n n i=1 (Xi − µ) Ainsi s2 = n−1 2 σ n Le meilleur estimateur de σ 2 , variance de la loi de probabilité de la variable aléatoire X lorsque l’espérance µ est inconnue est : n 2 1 σˆ 2 = s = n−1 n−1 n ¯ 2 (Xi − X) i=1 2. Cas Bernoulli : Estimation de la moyenne : Soit X B(θ) telle que : θ ∈ [0, 1] avec : θ = p ( p c’est le sucées ) On a pour une loi discrète alors pour détermine un estimateur pour la valeur θ, on utilise sa probabilité telle que : P(X = θ) c.à.d. P(X = p) (p

a, d’après l’arbre précédent : 1 1 1 P(A) = P(A ∩ R) + P(A ∩ R) = r + (1 − r ) = (3r + 1 − r ) = (1 + 2r ). 3 3 3 c. On a : PA (R) = P(A ∩ R) 3r r = = 1 . P(A) 1 + 2r 3 (1 + 2r ) 2. a. L’expérience consiste en une répétition de 400 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où la probabilité de « succès » (c’est-à-dire que l’étudiant ait la bonne réponse) est égale à P(A). La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 400 et p = P(A) = 31 (1 + 2r ). 30, n f 5 et n(1

2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Opérations sur les variables aléatoires . . . . 2 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . 2.4.1 Loi de Poisson

Asymétrie à gauche 99 Coefficients d’asymétrie Coefficients d’asymétrie • Moment centré d’ordre 3 : asymétrie à gauche m > 0 3 1 m = ∑ (x − x ) n n 3 3 i =1 i symétrie asymétrie à droite m =0 3 m 0 ( i = 1, 2,…, m ) • Théorème des probabilités totales : ∀A : P ( A ) = ∑ P ( E ) P ( A | E ) i =1 i i 2004/2005 115 m Probabilités totales • Exemple : Une société pétrolière envisage l’opportunité d’un forage sur un nouveau site. Trois cas sont possibles : – Pas

f (x)w(x)dx par la formule approchée l b f (x)w(x)dx ≈ a xj ∈ [a, b]. λj f (xj ), j=0 L’erreur due à la méthode est donnée par : l b f (x)w(x)dx − E(f ) = a λj f (xj ). j=0 Pour finir, on rappelle la célèbre formule de Taylor suivante : Théorème 1 (Formule de Taylor avec reste intégral) Soit I un intervalle de R d’intérieur non vide et n ∈ N. Soit f : I → R une fonction n + 1 fois continûment dérivable. Alors pour tout (a, x) ∈ I 2 , n x f (n+1) (t) f (k) (a) f (x) = (x − a)k + (x − t)n

que cela ne signe pas une pathologie mais que c’est uniquement un signal d’alerte. C) Principales lois  Lois discrètes - Loi de Bernoulli : loi en oui ou non : X=0 ou X=1, on note la P(X=1)=p, on a E(X)=p et Var(X)=p(1-p) (très souvent utilisée sans s’en rendre compte : probabilité d’être atteint, de décès…) - Loi Binomiale : répétition de n fois une expérience de Bernoulli de probabilité p, on a E(X)=np et Var(X)=np(1-p) - Loi de Poisson : paramètre λ E(X)=Var(X)=λ (utilisée pour estimer un nombre

t) est une 5-liste de E. Remarques : • On précise parfois p-liste "avec répétition" pour les distinguer des arrangements qui seront évoqués au paragraphe suivant. • On suppose que la 0-liste existe, c' la liste qui ne comporte aucun élément. est Théorème Soit E un ensemble de cardinal fini n. Le cardinal de l' ensemble E P des p listes de E est n p. Exemple : Combien y a-t-il de numéro de téléphone commençant par 03557... ? Les 4 numéros qui suivent sont des 4-listes de l' ensemble {0 ; 1 ; ... ;

mathématiques a lieu à l'âge de treize ans à la lecture des Éléments de mathématiques de Dominique-François Rivard. Il aborde alors une véritable passion pour l'algèbreet les coniques. Sachant lire le latin, il s'intéresse ensuite aux travaux d'Euler et de Bernoulli. Pendant la Révolution, le père d'André-Marie retourne à Lyon pour y exercer les fonctions de juge de paix. Il prend fermement position contre les excès révolutionnaires qui mènent au soulèvement et au siège de Lyon. Ayant fait arrêter le chef des

1.1.2 Risque 1.1.3 Rentabilité exigée 1.1.4 Valeur présente 1.2 Décision d'investissement 1.2.1 Investissement financier 1.2.2 Investissement opérationnel 1.2.3 Croissance externe 1.2.4 Rémunération des actionnaires 1.3 Financement 1.3.1 Théorème de Modigliani-Miller 1.3.2 Effet de la fiscalité 1.3.3 Limites à l'endettement 1.3.3.1 Coûts de la faillite 1.3.3.2 Perte d'opportunité (debt overhang) 1.3.4 Comportement des dirigeants 1.3.5 Asymétrie et signal de qualité 2 Pratique de la