Théorème de Bolzano-Weierstrass

est non bornée alors 1 i. (1pt) g est non bornée ⇔ ⇒ ⇒ ∀M ∈ R, ∃x ∈ [−1, 1[ , |g (x)| > M ∀n ∈ N; ∃xn ∈ [−1, 1[ , |g (xn )| > n ∃ (xn ) ∈ [−1, 1[ ; lim |g (xn )| = +∞ n→+∞ ii. (0 .5pt) , (xn ) ⊂ [−1, 1[ ⊂ [−1, 1] donc d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass ∃ xϕ(n) une sous suite de (xn ) convergente vers α dans [−1, 1] . iii. (1pt) Supposons que α ∈ [−1, 1[ . Comme g est continue sur [−1, 1[ & lim xϕ(n) = α alors lim n→+∞ n→+∞ g xϕ(n) = |g (α)| . (0 .5pt) Or xϕ(n) une sous suite

Convergence d’une suite réelle Définition Une suite (un )n∈N de réels est convergente si et seulement s’il existe un réel l vérifiant ∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N ∀ n Nε |un − l | ε Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R • La suite (un + αvn )n∈N converge

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L'induction 3.0.21 3.0.22 Théorème (Bon ordre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe d'Induction (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 15 15 Bekkali 3.0.23 Notions fondamentales

interdits. Il est inutile de recopier les énoncés. Toutes réponse doit être justifiée. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction dans la correction. Question de cours (6 points) 1. Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass. 2. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires 3. Enoncer le théorème des accroissements finis Correction de la question de cours 1. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. 2. Soit un intervalle de . Pour tout , avec , pour tout entre

(resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique. Preuve. Soient x, y deux plus grands éléments. Comme y ∈ A et x pge on a y ≤ x. De même, x ∈ A et y pge donne x ≤ y. Par antisymétrie de la relation ≤, on a x ≤ y et y ≤ x implique x = y. Théorème 1. On munit N de la relation d’ordre usuelle. Alors : 1) Tout sous-ensemble non vide de N admet un plus petit élément. 2) Tout sous-ensemble non vide et majorée de N admet un plus grand élément. 1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE

[pic]. Donc f tend vers [pic] en [pic]. • En b : f est continue à droite et à gauche, donc f est continue en b. • Pour [pic], on fait la même chose que le premier point. 2) Sommes, produits… Théorème : - La somme de deux fonctions continues est continue. - Le produit d’une fonction continue par un réel est continu. - Le produit de deux fonctions continues est continu. - L’inverse, lorsqu’il est défini, d’une fonction

Prop : Toute fonction Lipschitzienne sur A est continue sur A 6°) Caractérisation topologique : Th : f une application de A dans F , f est continue sur A ssi l’image réciproque par f de tout ouvert de f ( A ) est un ouvert de A Ce théorème s’applique aussi aux parties fermées Ex : GLn ℝ est un ouvert de Mn ℝ V ) Espace complet : 1°) Suite de Cauchy ( 1789-1857 ) : Def : La suite d’éléments de E est de Cauchy si etseulement si :   0,  N tq (n, p), n  N ⇒ un

suite est bornée (explicitement par le maximum de |uK1 | + 1 et du maximum des |ak | pour k de 0 à K1 . • Deuxième étape. La suite est bornée. Elle admet au moins une sous suite qui converge. C'est le théorème réel de Bolzano-Weierstrass. On note ϕ l'extraction et λ la limite. ∀ ε ∈ R+∗ , ∃ H ∈ N, ∀ n ∈ N, n • H ⇒ |uϕ(n) − λ| On veut prouver maintenant que la suite dans toute sa globalité (et pas juste la sous- suite) converge vers λ. On

précisément, la recherche de primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’« intégrer une équation différentielle », et la relation fondamentale qui existe entre la différentiation et l’intégration en une variable sera généralisée par les célèbres théorèmes de Gauss et de Stokes. Dans la partie III, nous développons des outils qui sont nécessaires pour attaquer ces grands sujets, et qui sont également utilisés dans un grand nombre d’autres théories mathématiques. Passons en revue ces trois parties de

précédente et de s’apercevoir que d’un coté on calcule Hn et de l’autre les termes s’éliminent presque tous deux à deux. 3. La limite est +∞. 4. Calculer un+1 − un . 5. C’est le théorème de Bolzano-Weierstrass. Indication pour l’exercice 7 Pour la première question : attention on ne demande pas de calculer α ! L’existence vient du théorème des valeurs intermédiaires. L’unicité vient du fait que la fonction est strictement croissante. Pour la dernière question : il faut d’une part montrer que (xn ) converge