Théorème de Borel-Lebesgue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L'induction 3.0.21 3.0.22 Théorème (Bon ordre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe d'Induction (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 15 15 Bekkali 3.0.23 Notions fondamentales

n’est pas fini. 1.1.3 Théorème : Soit X un ensemble non vide, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) X est infini.  (ii) ∃ X0 ⊊ X, ∃ ψ : X0 → X bijective. 1.1.4 Définition : Un ensemble X non vide est dit dénombrable lorsque ∃ φ : ℕ → X bijective. X = φ(ℕ) = {φ(i), i ∈ ℕ}. Si X est dénombrable, alors X est infini (car ℕ est infini). ℕ est dénombrable.  1.1.5 Définition : Un ensemble non vide est dit au plus dénombrable lorsqu’il est fini ou dénombrable. 1.1.6 Théorème : Soit X un ensemble

mesurables positives. . . . . . . . . . 2.3.1 Définitions et théorème de convergence monotone . . . 2.3.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Application : Mesures à densité . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fonctions intégrables à valeurs dans R ou C . . . . . . . . . . . 2.4.1 Cas de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Cas de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . . 2.5 Applications

Académie Internationale Mohammed VI de l’ Aviation Civile Casablanca Ingénieurs de l’ Aviation Civile Année 2008 Analyse Intégrale de Lebesgue —————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que

dit que que la mesure de Borel-Stieljes associ´e a F est la restriction de la e ` mesure ext´rieure µ d´finie ci-dessus a l’ensemble des parties mesurables de e e ` mesure finie. La mesure de Lebesgues sur Rest la mesure de Borel-Stieltjes associ´e a la fonction F (x) = x.2 e ` On peut a pr´sent exposer cette application de l’axiome du choix. ` e Proposition. Il existe un sous ensemble de R non mesurable pour la mesure de Lebesgues. D´monstration. Soit µ la mesure de Lebesgues. Pour chaque r´el appartenant

. . . 5 7 7 7 12 16 16 18 19 19 23 27 28 30 31 31 31 32 33 34 34 37 39 39 41 41 1 Rappels de probabilités 1.1 Rappels sur la théorie de la mesure . . . . . . . . . 1.1.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Intégration de Lebesgue . . . . . . . . . . . 1.2 Applications en probabilité . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

On a facilement 1A c = 1 − 1A E[1A ] = ω∈Ω et 1A∩B = 1A 1B . P({ω}) = P(A). ω∈A D'après les dénitions, 1A (ω)P({ω}) = ω ∈ Ω, X(ω) ∞ 3. On remarque que : pour tout X(ω) = k=1 1= k=1 1{X≥k} (ω), X, d'où par théorème de convergence dominée (les sommes partielles sont inférieures à intégrable) (ou convergence monotone) : ∞ ∞ E[X] = k=1 E[1{X≥k} ] = k=1 P(X ≥ k). Indépendance Exercice 2 Indépendance entre 3 événements L'espace des épreuves

ensembles mesurables . . . . . . 1.4 Les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . ` L’int´ gration par rapport a une mesure e 2.1 Les fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . 2.2 L’int´ grale des fonctions mesurables . . . . . . e ` 2.3 L’int´ grale des fonctions a valeurs complexes . e ` 2.4 L’int´ grale par rapport a la mesure de Lebesgue e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes