Théorème de Borel-Lebesgue

aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Le Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Espace fini ou dénombrable 3.1 Prérequis : quelques résultats utiles sur les séries . . . . . . . . . 3.2 Variables

Measures . 2.2 Standard Spaces . . . . . . . . . . . 2.3 Some properties of standard spaces . 2.4 Simple standard spaces . . . . . . . . 2.5 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . 2.6 Extension in Standard Spaces . . . . 2.7 The Kolmogorov Extension Theorem 2.8 Extension Without a Basis . . . . . vii ix 1 1 1 6 8 13 19 21 21 22 26 29 31 36 37 38 45 45 48 54 61 61 61 64 67 77 80 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 1 1 4 5 7 8 10 10 11 11 CHAPITRE II. Fonctions holomorphes II.1. Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . . II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte . II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

précisément, la recherche de primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’« intégrer une équation différentielle », et la relation fondamentale qui existe entre la différentiation et l’intégration en une variable sera généralisée par les célèbres théorèmes de Gauss et de Stokes. Dans la partie III, nous développons des outils qui sont nécessaires pour attaquer ces grands sujets, et qui sont également utilisés dans un grand nombre d’autres théories mathématiques. Passons en revue ces trois parties de

............................................................................................ 18 E - Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale ........................................................... 20 I - La loi des grands nombres......................................................................................................... 20 II - Le théorème de la limite centrale ou « central- limite » ........................................................... 21 1 A- ELEMENTS DE

e e r`me de continuit´. Compl´ments et exercices. e e e 79 99 e CHAPITRE 10. Mesures de Stieltjes-Lebesgue. Int´grale des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e e Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur la droite. Mesure de probabilit´ induite par une fonction de r´partition. Mesures de e e n e e e Stieltjes-Lebesgue sur R . Variables al´atoires r´elles. Int´grale d’une variable al´atoire r´elle par rapport a une mesure. Exemples

triangulées et catégories dérivées. MAT 712 3 cr. Mesure et intégration (3-0-6) Objectifs : développer l’intégrale de Lebesgue et obtenir ses propriétés. Contenu : théorie abstraite de l’intégration. Mesures de Borel et théorème de représentation de Riesz. Espaces Lp. Mesures complexes et théorème de Radon-Niko­ dym. Intégration sur les espaces produits et le théorème de Fubini. Différentiation. MAT 714 3 cr. Sujets choisis en algèbre (3-0-6) 3 cr. Objectif : se familiariser

variables aléatoires réelles et leurs lois. . . . . . . . . . . . . . . L’espérance mathématique d’une variable aléatoire 5.1 Les variables aléatoires étagées. . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque. . . . . . . 5.3 Théorème du transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace 6.1 Moments

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11 12 8 4 Équations diérentielles stochastiques Théorème d'existence et d'unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Dépendance par rapport à la condition initiale . . . . . . . . . 4.2.2 Caractère markovien de la

intervalle contenant 0. e e Th´or`me I.5 formule d’inversion e e Soit P une probabilit´ sur (R, B) ayant pour transform´e de Fourier, ϕ(t). Si ϕ e e est int´grable par rapport ` la mesure de Lebesgue sur R (c’est-`-dire R | ϕ(t) | e a a dt < ∞), alors P poss`de une densit´ p par rapport ` la mesure de Lebesgue, e e a cette densit´ est continue et est donn´e par : e e p(x) = 1 2π e−itx ϕ(t)dt. 2.4.4 Ind´pendance et caract´risation de l’ind´pendance e e e Definition I.8 cas multivari´ e Soit