Théorème de Borel-Lebesgue

caractéristique............................... Vecteurs gaussiens ...................................................................................... Théorèmes limites fondamentaux....................................................... Loi des grands nombres ............................................................................. Théorème de la limite centrale................................................................... Comparaison des différents modes de convergence ...............

est F-mesurable, et e ´crirons X ⊆ F. La loi d’une variable al´atoire X ` valeurs dans (E, E) est l’application e e a PX −1 : E → [0, 1] A → P(X −1 (A)) = P{X ∈ A} . (2.1.3) L’esp´rance d’une variable al´atoire X est d´finie comme l’int´grale de Lebesgue e e e e E(X) = Ω X dP . (2.1.4) Rappelons que cette int´grale est d´finie en approchant X par une suite de fonctions e e ´tag´es Xn = i ai 1Ai , pour lesquelles Ω Xn dP = i ai P(Ai ). e e 13 14 ´ ´ CHAPITRE 2. CONSTRUCTION GENERALE

que pour tout > 0, il existe α > 0 tel que pour tout A ∈ M, µ(A) < α implique A f dµ < . 33 Corrig´. Voir la correction de l’exercice 3 de l’examen du 14/11/1998 dans le paragraphe e examens corrig´s. e Exercice 3.6. Soit m la mesure de Borel sur R et m(Ω) < . > 0. Construire un ouvert Ω dense dans R tel que Corrig´. L’ensemble Q des nombres rationnels est ´quipotent a N. On peut consid´rer e e ` e e Q = {xn }n≥1 et d´finir Ω = ∪n≥1 ]xn − 2−n−2 , xn + 2−n−2 [, qui est ouvert comme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .

An+1 = An + I E(Xn+1 − Xn | Fn ). 4.3. Th´or`me d’arrˆt. Soit (Xn )n≥0 une surmartingale. On a donc, pour m < n, I e e e E(Xn | Fm ) ≤ Xm p.s. On va s’int´resser ` cette propri´t´ si l’on remplace m et n par des temps d’arrˆt . e a ee e ´ ` Theoreme 4.6. Soient (Xn )n≥0 une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) int´grable ou positive et ν1 et ν2 deux temps d’arrˆt born´s avec ν1 ≤ ν2 ; alors on a I e e e E(Xν2 | Fν1 ) = Xν1 , (resp. ≤, ≥). Preuve: Supposons d’abord que ν1

is easy to see that K is a convex cone containing the origin. Exactly one of the following cases can hold: • The vector do belongs to K. This means that Problem 1 above has a solution. • The vector do does not belong to K. Then, by the separation theorem for convex sets, there exists a hyperplane H such that do is strictly on one side of H whereas K is on the other side. Letting h be defined as a normal vector to H pointing in the direction where K lies, this means that Problem 2 has a solution. 0

Échantillons et sous-populations 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une

). 2 f est strictement décroissante dur D1 si ∀(x, x￿ ) ∈ D1 , x < x￿ ⇒ f (x￿ ) < f (x). f est monotone sur D1 (resp. strictement monotone sur D1 ) si f est croissante ou décroissante sur D (resp. strictement croissante ou décroissante sur D1 ). Théorème Soit f : D → R strictement monotone sur D. On a : 1. f est une bijection de D sur f (D) et admet une fonction réciproque notée f −1 . 2. f −1 est une bijection strictement monotone de f (D) sur D, f −1 a même monotonie que f . 3. Dans un plan

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «

sous-populations 33 33 35 40 41 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 45 46 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité